$$\int_0^1 (14x^6 + 17) dx$$

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_0^1 (14x^6 + 17) dx \) сначала найдём первообразную функции \( f(x) = 14x^6 + 17 \).

1. Применим правила интегрирования: \( \int (ax^n + b) dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + bx + C \).
2. Первообразная \( F(x) \) будет: \[ F(x) = 14 \frac{x^{6+1}}{6+1} + 17x = 14 \frac{x^7}{7} + 17x = 2x^7 + 17x \].
3. Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
4. Подставим пределы интегрирования: \[ \int_0^1 (14x^6 + 17) dx = [2x^7 + 17x]_0^1 \]
5. Вычислим значение первообразной в верхнем пределе (x = 1): \( F(1) = 2(1)^7 + 17(1) = 2 + 17 = 19 \).
6. Вычислим значение первообразной в нижнем пределе (x = 0): \( F(0) = 2(0)^7 + 17(0) = 0 + 0 = 0 \).
7. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: \( 19 - 0 = 19 \).

Ответ: 19.