$$\\int \\frac{\\sqrt{x}-4x+5x^2}{x^2} dx$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $$x^2$$.
   $$ \\frac{\\sqrt{x}-4x+5x^2}{x^2} = \\frac{x^{1/2}}{x^2} - \\frac{4x}{x^2} + \\frac{5x^2}{x^2} = x^{1/2 - 2} - 4x^{1-2} + 5 = x^{-3/2} - 4x^{-1} + 5 $$
2. Шаг 2: Теперь проинтегрируем полученное выражение по частям.
   $$ \\int (x^{-3/2} - 4x^{-1} + 5) dx = \\int x^{-3/2} dx - 4\\int x^{-1} dx + 5\\int 1 dx $$
3. Шаг 3: Применяем правила интегрирования степенной функции $$\\int x^n dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ и $$\\int x^{-1} dx = \\ln|x| + C$$.
   $$ \\int x^{-3/2} dx = \\frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = \\frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2} $$
   $$ 4\\int x^{-1} dx = 4\\ln|x| $$
   $$ 5\\int 1 dx = 5x $$
4. Шаг 4: Объединяем все части и добавляем константу интегрирования C.
   $$ -2x^{-1/2} - 4\\ln|x| + 5x + C $$

Ответ: $$-2x^{-1/2} - 4\\ln|x| + 5x + C$$