Интеграл \(\int (2x+1)e^x dx\) равен

Для решения интеграла \(\int (2x+1)e^x dx\) используем метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле: $$\int u dv = uv - \int v du$$ Выберем \(u\) и \(dv\) так, чтобы упростить интеграл. В данном случае, хорошим выбором будет: * \(u = 2x + 1\) * \(dv = e^x dx\) Теперь найдем \(du\) и \(v\): * \(du = \frac{d}{dx}(2x + 1) dx = 2 dx\) * \(v = \int e^x dx = e^x\) Применим формулу интегрирования по частям: $$\int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - \int e^x (2) dx$$ Упростим интеграл: $$\int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - 2 \int e^x dx$$ Теперь вычислим оставшийся интеграл: $$\int e^x dx = e^x$$ Подставим это обратно в уравнение: $$\int (2x+1)e^x dx = (2x+1)e^x - 2e^x + C$$ Упростим выражение: $$\int (2x+1)e^x dx = 2xe^x + e^x - 2e^x + C$$ $$\int (2x+1)e^x dx = 2xe^x - e^x + C$$ $$\int (2x+1)e^x dx = e^x(2x - 1) + C$$ Итак, интеграл равен \(e^x(2x - 1) + C\). Ответ: \(e^x(2x - 1) + C\)