Интеграл \(\int 2x(x^2+1)dx\) равен...

Пошаговое решение:

1. Раскрываем скобки в подынтегральном выражении:\[\int 2x(x^2+1)dx = \int (2x^3 + 2x) dx\]
2. Применяем правило интегрирования суммы и интегрируем почленно:\[\int (2x^3 + 2x) dx = 2\int x^3 dx + 2\int x dx\]
3. Используем табличный интеграл \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):\[2\int x^3 dx + 2\int x dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C\]
4. Упрощаем выражение:\[\frac{x^4}{2} + x^2 + C = \frac{x^4 + 2x^2}{2} + C\]
5. Преобразуем выражение, чтобы привести к одному из предложенных вариантов:
   Заметим, что \((x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1\), поэтому можем записать:
   \[\frac{x^4 + 2x^2}{2} + C = \frac{x^4 + 2x^2 + 1 - 1}{2} + C = \frac{(x^2+1)^2 - 1}{2} + C = \frac{(x^2+1)^2}{2} - \frac{1}{2} + C\]
   Т.к. \(-\frac{1}{2}\) это константа, мы можем включить ее в общую константу интегрирования, поэтому окончательно получаем: \[\frac{(x^2+1)^2}{2} + C\]

Ответ: \(\frac{(x^2+1)^2}{2} + C\)