Интеграл dx / (sqrt(x) + root4(x))

Пусть $$u = \sqrt[4]{x}$$. Тогда $$u^2 = \sqrt{x}$$ и $$4u^3 du = dx$$.

Интеграл становится $$\int \frac{4u^3 du}{u^2 + u} = \int \frac{4u^2 du}{u + 1}$$.

Выполняя деление многочленов или используя подстановку $$v = u+1$$, получаем $$4\int (u-1 + \frac{1}{u+1}) du = 4(\frac{u^2}{2} - u + \ln|u+1|) + C$$.

Подставляя обратно $$u = \sqrt[4]{x}$$, получаем $$2\sqrt[4]{x^2} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln|\sqrt[4]{x}+1| + C = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln|\sqrt[4]{x}+1| + C$$.