Интеграл \( \iint_{D} y^2 dxdy \) по области $$D: 1 \leq x \leq 2; 0 \leq y \leq 1$$ равен

Решение:

Вычисляем двойной интеграл:

\[ \iint_{D} y^2 dxdy \]

Область интегрирования $$D$$ задана условиями $$1 \leq x \leq 2$$ и $$0 \leq y \leq 1$$. Интеграл можно представить как:

\[ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} y^2 dy dx \]

Сначала вычислим внутренний интеграл по $$y$$:

\[ \int_{0}^{1} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]

Теперь вычислим внешний интеграл по $$x$$:

\[ \int_{1}^{2} \frac{1}{3} dx = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} dx = \frac{1}{3} \left[ x \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (2 - 1) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \]

Ответ: 1/3.