Интеграл \( \int_0^{\pi} \sqrt{1 - \sin^2{x}} dx \) вычисляется с использованием тригонометрической подстановки и учёта знака на отрезке интегрирования. Если применить формулу Ньютона-Лейбница, получится значение, численно равное:

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_0^{\pi} \sqrt{1 - \sin^2{x}} dx \) воспользуемся тригонометрическим тождеством \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \), откуда \( \sqrt{1 - \sin^2{x}} = \sqrt{\cos^2{x}} = |\cos{x}| \).

На интервале \( [0, \frac{\pi}{2}] \) \( \cos{x} \ge 0 \), а на интервале \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) \( \cos{x} \le 0 \). Поэтому:

\( \int_0^{\pi} |\cos{x}| dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{x}) dx \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} dx = [\sin{x}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1 - 0 = 1 \)

\( \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{x}) dx = [-\sin{x}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\sin{\pi}) - (-\sin{\frac{\pi}{2}}) = 0 - (-1) = 1 \)

Сложив полученные значения:

\( 1 + 1 = 2 \)

Таким образом, значение интеграла численно равно 2.

Ответ: a. 2