Интеграл \( \int_{-1}^{1} (4x^3 + 3x^2 - x) dx \) равен (набрать число)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-1}^{1} (4x^3 + 3x^2 - x) dx \) найдём первообразную подынтегральной функции \( f(x) = 4x^3 + 3x^2 - x \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу степенной интеграции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

• \( \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \)
• \( \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)
• \( \int -x dx = -1 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -\frac{x^2}{2} \)

Таким образом, первообразная равна \( F(x) = x^4 + x^3 - \frac{x^2}{2} \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_{-1}^{1} (4x^3 + 3x^2 - x) dx = \left[ x^4 + x^3 - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} \]\[ = \left( (1)^4 + (1)^3 - \frac{(1)^2}{2} \right) - \left( (-1)^4 + (-1)^3 - \frac{(-1)^2}{2} \right) \]\[ = \left( 1 + 1 - \frac{1}{2} \right) - \left( 1 - 1 - \frac{1}{2} \right) \]\[ = \left( 2 - \frac{1}{2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \right) \]\[ = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \]\[ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]Alternatively, we can notice that \(4x^3\) and \(-x\) are odd functions, so their integrals from \(-1\) to \(1\) are 0. The integral becomes \( \int_{-1}^{1} 3x^2 dx \). Since \(3x^2\) is an even function, we can write this as \( 2 \int_{0}^{1} 3x^2 dx \).

\[ 2 \int_{0}^{1} 3x^2 dx = 2 \left[ x^3 \right]_{0}^{1} = 2(1^3 - 0^3) = 2(1) = 2 \]

Ответ: 2