Интеграл x/2 * (x^2 + 1) dx равен...

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int \frac{x}{2}(x^2+1)dx \), мы можем вынести константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла:

\( \frac{1}{2} \int x(x^2+1)dx \)

Раскроем скобки:

\( \frac{1}{2} \int (x^3+x)dx \)

Теперь проинтегрируем каждый член отдельно:

\( \frac{1}{2} \left( \int x^3 dx + \int x dx \right) \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( \frac{1}{2} \left( \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + C \)

\( \frac{1}{2} \left( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right) + C \)

Раскроем скобки:

\( \frac{x^4}{8} + \frac{x^2}{4} + C \)

Посмотрим на предложенные варианты. Ни один из них не соответствует полученному результату. Проверим условие интеграла. Возможно, было написано \( \int \frac{x^2+1}{2} dx \)?

Если интеграл был \( \int \frac{x^2+1}{2} dx \), то:

\( \frac{1}{2} \int (x^2+1)dx \)

\( \frac{1}{2} \left( \int x^2 dx + \int 1 dx \right) \)

\( \frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} + x \right) + C \)

\( \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + C \)

Это тоже не соответствует вариантам. Давайте предположим, что интеграл был \( \int \frac{x^2+1}{x} dx \). Тогда:

\( \int (x + \frac{1}{x}) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C \)

Это также не соответствует вариантам. Давайте рассмотрим вариант, где \( x \) является пределом интегрирования. Однако, в условии сказано "равен...", что подразумевает неопределенный интеграл.

Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть ошибка. Проверим, как можно получить варианты ответа.

Если бы правильный ответ был \( \frac{(x^2+1)^2}{4} + C \), то производная от этого выражения равна:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{(x^2+1)^2}{4} + C \right) = \frac{1}{4} \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x = x(x^2+1) = x^3+x \). Это соответствует интегралу \( \int (x^3+x)dx \) , а не \( \int \frac{x}{2}(x^2+1)dx \).

Если правильный ответ \( \frac{(x^2+1)^2}{8} + C \), то производная равна:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{(x^2+1)^2}{8} + C \right) = \frac{1}{8} \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x = \frac{x(x^2+1)}{2} = \frac{x^3+x}{2} \). Это соответствует интегралу \( \int \frac{x^3+x}{2} dx \) , что равно \( \int \frac{x}{2}(x^2+1) dx \).

Следовательно, первый вариант ответа \( \frac{(x^2+1)^2}{4} + C \) приводит к \( x(x^2+1) \).

Второй вариант ответа \( \frac{(x^2+1)^2}{8} + C \) при дифференцировании дает \( \frac{x(x^2+1)}{2} \), что соответствует \( \int \frac{x}{2}(x^2+1)dx \).

Третий вариант ответа \( \frac{(x^2+1)^2}{2} + C \) при дифференцировании дает \( x(x^2+1) \).

Четвертый вариант \( \frac{(x^3+1)^2}{3} + C \) при дифференцировании дает \( \frac{2(x^3+1) · 3x^2}{3} = 2x^2(x^3+1) \).

Пятый вариант \( \frac{(x^3+1)^2}{6} + C \) при дифференцировании дает \( \frac{2(x^3+1) · 3x^2}{6} = x^2(x^3+1) \).

Исходя из этого, правильный ответ - второй вариант.

Ответ: \( \frac{(x^2+1)^2}{8} + C \)