Интегральная кривая дифференциального уравнения первого порядка (y+2)y' = sin 2x удовлетворяющая условию у(0) = −1 имеет вид ...

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: \( (y+2)y' = \sin 2x \)

Разделим переменные:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{y+2} \]

\[ (y+2) dy = \sin 2x dx \]

Интегрируем обе части:

\[ \int (y+2) dy = \int \sin 2x dx \]

\[ \frac{y^2}{2} + 2y = -\frac{1}{2}\cos 2x + C \]

Умножим обе части на 2:

\[ y^2 + 4y = -\cos 2x + 2C \]

Перенесём \(-\cos 2x\) в левую часть:

\[ y^2 + 4y + \cos 2x = 2C \]

Обозначим \( 2C \) как новую константу \( K \):

\[ y^2 + 4y + \cos 2x = K \]

Теперь используем начальное условие \( y(0) = -1 \) для нахождения \( K \):

\[ (-1)^2 + 4(-1) + \cos(2 \cdot 0) = K \]

\[ 1 - 4 + \cos(0) = K \]

\[ 1 - 4 + 1 = K \]

\[ K = -2 \]

Подставляем значение \( K \) обратно в уравнение:

\[ y^2 + 4y + \cos 2x = -2 \]