Контрольные задания > 3. Интегралы 3.1. Найти табличный интеграл (x*(1+5x)dx 3.2. Найти определенный интеграл (2x²-4x+5)dx 3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x-2y+4=0, y=0, x=-1 u x=6 3.4. Найти объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями y² = 4x, x = 1, x = 9
Вопрос:

3. Интегралы 3.1. Найти табличный интеграл (x*(1+5x)dx 3.2. Найти определенный интеграл (2x²-4x+5)dx 3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x-2y+4=0, y=0, x=-1 u x=6 3.4. Найти объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями y² = 4x, x = 1, x = 9

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

3.1. Найти табличный интеграл \(\int x(1+5x)dx\)

Краткое пояснение: Раскрываем скобки и интегрируем каждый член по отдельности, используя формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).
  1. Шаг 1: Раскрываем скобки \[\int x(1+5x)dx = \int (x + 5x^2)dx\]
  2. Шаг 2: Интегрируем каждый член \[\int (x + 5x^2)dx = \int x dx + 5 \int x^2 dx\]
  3. Шаг 3: Применяем формулу интегрирования \[\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1\] \[\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_2\]
  4. Шаг 4: Подставляем результаты \[\frac{x^2}{2} + 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{3} + C\]

Ответ: \(\frac{x^2}{2} + \frac{5x^3}{3} + C\)

Проверка за 10 секунд: Проверьте, взяв производную от полученного результата, чтобы убедиться, что она равна исходной функции под интегралом.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Понимание основных формул интегрирования и умение их применять - ключ к успеху в интегральном исчислении.

3.2. Найти определенный интеграл \(\int_0^2 (2x^2 - 4x + 5) dx\)

Краткое пояснение: Интегрируем функцию, затем вычисляем значение интеграла на верхнем и нижнем пределах и находим разность.
  1. Шаг 1: Интегрируем функцию \[\int (2x^2 - 4x + 5) dx = 2 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 5 \int dx\] \[= 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = \frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 5x + C\]
  2. Шаг 2: Вычисляем значение интеграла на верхнем пределе (x = 2) \[\frac{2(2)^3}{3} - 2(2)^2 + 5(2) = \frac{16}{3} - 8 + 10 = \frac{16}{3} + 2 = \frac{16 + 6}{3} = \frac{22}{3}\]
  3. Шаг 3: Вычисляем значение интеграла на нижнем пределе (x = 0) \[\frac{2(0)^3}{3} - 2(0)^2 + 5(0) = 0\]
  4. Шаг 4: Находим разность значений \[\frac{22}{3} - 0 = \frac{22}{3}\]

Ответ: \(\frac{22}{3}\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно применили формулу интегрирования и подставили пределы интегрирования.

Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяйте правильность вычисления интеграла и подстановки пределов, чтобы избежать ошибок.

3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: \(x - 2y + 4 = 0, y = 0, x = -1\) и \(x = 6\)

Краткое пояснение: Выражаем y через x, находим интеграл от -1 до 6 и вычисляем площадь.
  1. Шаг 1: Выражаем y через x \[x - 2y + 4 = 0 \Rightarrow 2y = x + 4 \Rightarrow y = \frac{x + 4}{2}\]
  2. Шаг 2: Находим интеграл \[\int_{-1}^6 \frac{x + 4}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^6 (x + 4) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^6\]
  3. Шаг 3: Вычисляем значение интеграла на верхнем пределе (x = 6) \[\frac{1}{2} \left( \frac{6^2}{2} + 4(6) \right) = \frac{1}{2} (18 + 24) = \frac{1}{2} (42) = 21\]
  4. Шаг 4: Вычисляем значение интеграла на нижнем пределе (x = -1) \[\frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^2}{2} + 4(-1) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 4 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - 8}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{7}{2} \right) = -\frac{7}{4}\]
  5. Шаг 5: Находим разность значений \[21 - \left( -\frac{7}{4} \right) = 21 + \frac{7}{4} = \frac{84 + 7}{4} = \frac{91}{4}\]

Ответ: \(\frac{91}{4}\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно выразили y через x и вычислили интеграл.

Доп. профит: База: Площадь под кривой находится через определенный интеграл. Важно правильно определить пределы интегрирования.

3.4. Найти объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной линиями \(y^2 = 4x, x = 1, x = 9\)

Краткое пояснение: Используем формулу объема тела вращения: \(V = \pi \int_a^b y^2 dx\).
  1. Шаг 1: Записываем формулу объема тела вращения \[V = \pi \int_a^b y^2 dx\]
  2. Шаг 2: Подставляем \(y^2 = 4x\) и пределы интегрирования \[V = \pi \int_1^9 4x dx = 4\pi \int_1^9 x dx\]
  3. Шаг 3: Интегрируем функцию \[\int x dx = \frac{x^2}{2} + C\]
  4. Шаг 4: Вычисляем значение интеграла на верхнем пределе (x = 9) \[\frac{9^2}{2} = \frac{81}{2}\]
  5. Шаг 5: Вычисляем значение интеграла на нижнем пределе (x = 1) \[\frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}\]
  6. Шаг 6: Находим разность значений \[\frac{81}{2} - \frac{1}{2} = \frac{80}{2} = 40\]
  7. Шаг 7: Подставляем в формулу объема \[V = 4\pi \cdot 40 = 160\pi\]

Ответ: \(160\pi\)

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что правильно применили формулу объема тела вращения и вычислили интеграл.

Доп. профит: Читерский прием: Запомните формулу объема тела вращения, чтобы быстро решать подобные задачи.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю