Integrate the function e^(sqrt(x)) / sqrt(x).

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Пусть \( u = \sqrt{x} \). Тогда \( du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \), что означает \( dx = 2\sqrt{x} du \).

Подставим \( u \) и \( dx \) в интеграл:

\[ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{e^u}{u} (2u du) \]

Упростим выражение:

\[ \int 2e^u du \]

Вынесем константу за знак интеграла:

\[ 2 \int e^u du \]

Интеграл от \( e^u \) равен \( e^u \). Таким образом:

\[ 2e^u + C \]

Теперь вернёмся к исходной переменной, подставив \( u = \sqrt{x} \):

\[ 2e^{\sqrt{x}} + C \]

Ответ: \( 2e^{\sqrt{x}} + C \)