Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен 1. \(\int\) \(\frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}\) 2. \(\int\) \(\frac{3x-7}{4x^2-5x+3}\)dx 3. \(\int\) \(\frac{3-2x}{\sqrt{2x^2-3x+1}}\)dx

Решение:

Задание содержит три интеграла, связанных с квадратным трёхчленом. Поскольку требуется предоставить решение, а не только ответ, приведём общую идею для решения каждого из них.

1. \(\int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}}\)

Для решения этого интеграла необходимо выделить полный квадрат в знаменателе под корнем:

\(7 - 6x - x^2 = -(x^2 + 6x - 7) = -((x+3)^2 - 9 - 7) = -( (x+3)^2 - 16 ) = 16 - (x+3)^2\)

Тогда интеграл примет вид:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{16 - (x+3)^2}} \]

Это табличный интеграл вида \(\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{a}) + C\), где \( u = x+3 \) и \( a = 4 \).

Следовательно, решение:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{7-6x-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x+3}{4}\right) + C \]

2. \(\int \frac{3x-7}{4x^2-5x+3}dx\)

В этом случае знаменатель является квадратным трёхчленом, который нельзя представить в виде \(a^2 - u^2\) или \(u^2 - a^2\). Выделим полный квадрат в знаменателе:

\(4x^2 - 5x + 3 = 4\left(x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{4}\right) = 4\left(\left(x - \frac{5}{8}\right)^2 - \frac{25}{64} + \frac{3}{4}\right) = 4\left(\left(x - \frac{5}{8}\right)^2 + \frac{-25 + 48}{64}\right) = 4\left(\left(x - \frac{5}{8}\right)^2 + \frac{23}{64}\right)\)

Знаменатель положительный, поэтому интеграл является интегралом от рациональной дроби, где знаменатель не имеет действительных корней. Интеграл можно разбить на два:

1. Интеграл, где числитель является производной знаменателя: \( d(4x^2-5x+3) = (8x-5)dx \).
2. Интеграл, сводящийся к \(\arctan\) или \(\arcsin\).

Приведём числитель \(3x-7\) к виду \( A(8x-5) + B \):

\(3x - 7 = A(8x - 5) + B \Rightarrow 8A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{8}\)

\(-5A + B = -7 \Rightarrow -5(\frac{3}{8}) + B = -7 \Rightarrow B = -7 + \frac{15}{8} = \frac{-56+15}{8} = -\frac{41}{8}\)

Таким образом, интеграл примет вид:

\[ \int \frac{\frac{3}{8}(8x-5) - \frac{41}{8}}{4x^2-5x+3} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x-5}{4x^2-5x+3} dx - \frac{41}{8} \int \frac{dx}{4\left(\left(x - \frac{5}{8}\right)^2 + \frac{23}{64}\right)} \]

Первый интеграл равен \(\frac{3}{8} \ln|4x^2-5x+3|\). Второй интеграл сводится к \(\arctan\):

\[ \frac{41}{32} \int \frac{dx}{\left(x - \frac{5}{8}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{8}\right)^2} = \frac{41}{32} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{23}}{8}} \arctan\left(\frac{x - \frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{23}}{8}}\right) + C = \frac{41}{4\sqrt{23}} \arctan\left(\frac{8x-5}{\sqrt{23}}\right) + C \]

Итоговое решение:

\[ \int \frac{3x-7}{4x^2-5x+3}dx = \frac{3}{8} \ln(4x^2-5x+3) - \frac{41}{4\sqrt{23}} \arctan\left(\frac{8x-5}{\sqrt{23}}\right) + C \]

3. \(\int \frac{3-2x}{\sqrt{2x^2-3x+1}}dx\)

Этот интеграл похож на второй, но знаменатель находится под корнем. Выделим полный квадрат в знаменателе:

\(2x^2 - 3x + 1 = 2\left(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{-9 + 8}{16}\right) = 2\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}\right)\)

Знаменатель может быть отрицательным, поэтому нужно проверить дискриминант \(2x^2-3x+1\): \( D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9-8 = 1 \). Корни \( x = \frac{3 \pm 1}{4} \), т.е. \(x=1\) и \(x=1/2\). Следовательно, выражение под корнем может быть отрицательным.

Приведём числитель \(3-2x\) к виду \( A(4x-3) + B \), где \(4x-3\) — производная \(2x^2-3x+1\):

\(3 - 2x = A(4x - 3) + B \Rightarrow 4A = -2 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}\)

\(-3A + B = 3 \Rightarrow -3(-\frac{1}{2}) + B = 3 \Rightarrow B = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)

Интеграл примет вид:

\[ \int \frac{-\frac{1}{2}(4x-3) + \frac{3}{2}}{\sqrt{2x^2-3x+1}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{4x-3}{\sqrt{2x^2-3x+1}} dx + \frac{3}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{2\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}\right)}} \]

Первый интеграл равен \(-\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2x^2-3x+1} = -\sqrt{2x^2-3x+1}\).

Второй интеграл:

\[ \frac{3}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{2}\sqrt{\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2}} \]

Это табличный интеграл вида \(\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - a^2}| + C\), где \( u = x - \frac{3}{4} \) и \( a = \frac{1}{4} \).

Тогда:

\[ \frac{3}{2\sqrt{2}} \left[ \ln\left|\left(x - \frac{3}{4}\right) + \sqrt{\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}}\right| \right] + C = \frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left|x - \frac{3}{4} + \sqrt{x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}\right| + C \]

Итоговое решение:

\[ \int \frac{3-2x}{\sqrt{2x^2-3x+1}}dx = -\sqrt{2x^2-3x+1} + \frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left|x - \frac{3}{4} + \sqrt{x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}\right| + C \]

Примечание: В представленном решении приведены шаги и основные формулы для решения каждого интеграла. Полное вычисление и проверка могут потребовать дополнительного времени и внимания к деталям.