2. 1 ипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найти его катеты, если известно, что один из них на 4 см больше другого.

Решение:

Пусть x – длина одного катета, тогда (x + 4) – длина другого катета. По теореме Пифагора:

$$x^2 + (x + 4)^2 = 20^2$$

$$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400$$

$$2x^2 + 8x - 384 = 0$$

$$x^2 + 4x - 192 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, x = 12 см – длина одного катета.

Тогда длина другого катета: x + 4 = 12 + 4 = 16 см.

Ответ: Катеты равны 12 см и 16 см.