Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Иррациональное уравнение. а) Решите уравнение \(x-3\sqrt{x-1}+1=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие…Фото задания

Ответ:

а) Область допустимых значений: \(x-1\ge 0\), то есть \(x\ge 1\).

Сделаем замену: \(t=\sqrt{x-1}\), где \(t\ge 0\). Тогда \(x=t^2+1\).

Подставим в уравнение:

\[t^2+1-3t+1=0\]

\[t^2-3t+2=0\]

\[(t-1)(t-2)=0\]

Отсюда \(t=1\) или \(t=2\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

  1. \(\sqrt{x-1}=1\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\);
  2. \(\sqrt{x-1}=2\Rightarrow x-1=4\Rightarrow x=5\).

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=2;\ 5\).

б) Проверим корни на принадлежность отрезку \(\left[\frac{5}{\sqrt{15}};4\sqrt{3}-2\right]\).

\[\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\approx1.29,\qquad 4\sqrt{3}-2\approx4.93.\]

Следовательно, отрезок приблизительно равен \([1.29;4.93]\). Из корней \(2\) и \(5\) этому отрезку принадлежит только число \(2\).

Ответ: \(2\).