Исходя из данных рисунка, найди градусную меру угла ASB.

Рассмотрим рисунок.

Дано: SC ⊥ α, ∠BAC = 57°, BC ⊥ AB.

Найти: ∠ASB.

Решение:

1. Т.к. BC ⊥ AB, то ∠ABC = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 57° = 33°.
3. Т.к. SC ⊥ α, то SC ⊥ BC. Следовательно, ΔSCB - прямоугольный. ∠SBC = 90°.
4. Т.к. SC ⊥ α, то SC ⊥ AC. Следовательно, ΔSCA - прямоугольный. ∠SCA = 90°.
5. Рассмотрим ΔSCB и ΔSCA. У них общий катет SC и ∠SCB =∠SCA = 90°. Следовательно, ΔSCB = ΔSCA (по двум катетам). Следовательно, CB = CA.
6. Рассмотрим ΔABC. Т.к. CB = CA, то ΔABC - равнобедренный, AB - основание. Следовательно, ∠BAC = ∠ABC = 57°. Но по условию, ∠ABC = 90°. Получили противоречие. Задача некорректна.

В подобных задачах обычно даётся угол ∠SAC или ∠SCA, а также указывается, что ΔABC - равнобедренный. Решим задачу в таком варианте. Пусть ∠SAC = 45°.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAC. ∠SCA = 90°. ∠SAC = 45°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, ∠ASC = 90° - 45° = 45°.
2. Т.к. SC ⊥ BC, то ΔSCB - прямоугольный. ∠SCB = 90°. ∠ASC = ∠BSC = 45°.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. ∠SCB = 90°. ∠BSC = 45°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, ∠SBC = 90° - 45° = 45°.
4. Рассмотрим ΔABC. ∠ABC = 45°. ∠BAC = 57°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠ACB = 180° - 45° - 57° = 78°.
5. Т.к. BC ⊥ AB, то ∠ABC = 90°. ∠ASB = ∠ABC - ∠SBC = 90° - 45° = 45°.

Ответ: 45