Исполнитель Умка умеет выполнять три команды: 1. прибавить 7 2. умножить на 2 3. разделить на b b - это неизвестное натуральное число, b > 1. Выполняя первую команду, исполнитель прибавляет число 7, выполняя вторую команду, исполнитель умножает число на 2, выполняя третью команду, исполнитель делит число на b. Программой называется последовательность команд, например, 1321 или 12131. Известно, что программа 32312 преобразует число 64 в число 30. Найдите значение b.

Решение:

Обозначим начальное число как \( X \). Исполнитель выполняет команды в следующем порядке:

1. Команда 3: деление на \( b \). \( X / b \)
2. Команда 2: умножение на 2. \( (X / b) \times 2 \)
3. Команда 3: деление на \( b \). \( ((X / b) \times 2) / b \)
4. Команда 1: прибавление 7. \( (((X / b) \times 2) / b) + 7 \)
5. Команда 2: умножение на 2. \( ((((X / b) \times 2) / b) + 7) \times 2 \)

Дано, что начальное число \( X = 64 \) и после выполнения программы \( 32312 \) получается число 30.

Запишем это как уравнение:

\[ \left( \left( \frac{64}{b} \times 2 \right) / b + 7 \right) \times 2 = 30 \]

Решим уравнение:

1. Разделим обе части на 2: \( \left( \frac{64}{b} \times 2 \right) / b + 7 = 15 \)
2. Вычтем 7 из обеих частей: \( \left( \frac{64}{b} \times 2 \right) / b = 8 \)
3. Упростим левую часть: \( \frac{128}{b^2} = 8 \)
4. Умножим обе части на \( b^2 \): \( 128 = 8 b^2 \)
5. Разделим обе части на 8: \( b^2 = 16 \)
6. Извлечём квадратный корень. Так как \( b \) — натуральное число и \( b > 1 \), то \( b = 4 \).

Ответ: b = 4.