Используя данные электрической схемы, рассчитайте: а) общее сопротивление цепи; б) силу тока через каждый резистор; в) напряжение на каждом резисторе.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Дано:

• R₁ = 3 Ом
• R₂ = 6 Ом
• R₃ = 2 Ом
• R₄ = 12 Ом
• R₅ = 6 Ом
• I₁ = 2 А (общий ток цепи, так как он проходит через эквивалентное сопротивление всей цепи)

Расчет:

а) Общее сопротивление цепи:

1. Шаг 1: Резисторы R₁ и R₂ соединены параллельно. Найдем их эквивалентное сопротивление (R₁₂):
   \( R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{3 \text{ Ом} \cdot 6 \text{ Ом}}{3 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{18}{9} \text{ Ом} = 2 \text{ Ом} \)
2. Шаг 2: Резисторы R₃ и R₄ соединены последовательно. Найдем их эквивалентное сопротивление (R₃₄):
   \( R_{34} = R_3 + R_4 = 2 \text{ Ом} + 12 \text{ Ом} = 14 \text{ Ом} \)
3. Шаг 3: Сопротивления R₁₂, R₃₄ и R₅ соединены параллельно. Найдем общее сопротивление цепи (R):
   \( \frac{1}{R} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{34}} + \frac{1}{R_5} = \frac{1}{2 \text{ Ом}} + \frac{1}{14 \text{ Ом}} + \frac{1}{6 \text{ Ом}} \)
4. Шаг 4: Приведем к общему знаменателю (42):
   \( \frac{1}{R} = \frac{21}{42} + \frac{3}{42} + \frac{7}{42} = \frac{31}{42} \text{ Ом}^{-1} \)
5. Шаг 5: Найдем общее сопротивление:
   \( R = \frac{42}{31} \text{ Ом} \approx 1.35 \text{ Ом} \)

б) Сила тока через каждый резистор:

1. Шаг 1: Общий ток цепи I₁ = 2 А. Напряжение на концах всей цепи (U) равно:
   \( U = I_1 \cdot R = 2 \text{ А} \cdot \frac{42}{31} \text{ Ом} = \frac{84}{31} \text{ В} \approx 2.71 \text{ В} \)
2. Шаг 2: Напряжение на параллельных участках одинаковое, поэтому U₁₂ = U₃₄ = U₅ = U ≈ 2.71 В.
3. Шаг 3: Найдем силу тока через R₁ (I₂):
   \( I_2 = \frac{U_{12}}{R_1} = \frac{84/31 \text{ В}}{3 \text{ Ом}} = \frac{84}{93} \text{ А} = \frac{28}{31} \text{ А} \approx 0.90 \text{ А} \)
4. Шаг 4: Найдем силу тока через R₂ (I₃):
   \( I_3 = \frac{U_{12}}{R_2} = \frac{84/31 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = \frac{84}{186} \text{ А} = \frac{14}{31} \text{ А} \approx 0.45 \text{ А} \)
5. Шаг 5: Найдем силу тока через R₃₄ (I₄):
   \( I_4 = \frac{U_{34}}{R_{34}} = \frac{84/31 \text{ В}}{14 \text{ Ом}} = \frac{84}{31 \cdot 14} \text{ А} = \frac{6}{31} \text{ А} \approx 0.19 \text{ А} \)
6. Шаг 6: Найдем силу тока через R₅ (I₅):
   \( I_5 = \frac{U_5}{R_5} = \frac{84/31 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = \frac{84}{31 \cdot 6} \text{ А} = \frac{14}{31} \text{ А} \approx 0.45 \text{ А} \)
7. Проверка: По первому закону Кирхгофа, суммарный ток, входящий в узел, равен суммарному току, выходящему из него. Для узла A:
   \( I_1 = I_2 + I_3 + I_{12} \) - это неверно, так как R1 и R2 параллельны, а R3 и R4 последовательно, R5 параллельно им.
   Правильно: Ток I₁ (2А) делится на три ветви.
   Ток через R₁₂ это I_AB.
   Ток через R₃₄ это I_CD.
   Ток через R₅ это I_EF.
   В данной схеме: общий ток I₁ = 2А. Этот ток проходит через последовательно соединенные R1 и R2 (хотя на схеме они показаны параллельно - необходимо уточнение схемы).
   Предполагая, что I₁=2A - это ток, который подается на всю схему, и учитывая, как нарисованы резисторы R1 и R2 параллельно, R3 и R4 последовательно, и вся эта группа параллельна R5. Тогда ток I₁ = 2А - это ток, подаваемый на схему.
   Из рисунка видно, что R1 и R2 соединены параллельно. R3 и R4 соединены последовательно. Параллельно R3 и R4 соединен резистор R5. Параллельно всей этой группе (R3+R4+R5) соединен блок из R1 и R2. То есть, R1||R2 || (R3+R4) || R5.
   Вход A и выход B. Ток I₁ = 2А - общий ток, подходящий к узлу A.
   Пусть I₁ = 2А - общий ток цепи, подходящий к узлу, где ток разделяется на ветви.
   Исходя из рисунка, R1 и R2 параллельны, R3 и R4 последовательно. R5 параллельно R3 и R4. Блок R1||R2 параллелен блоку R3+R4. А весь этот блок параллелен R5.
   Переосмыслим схему: A и B - точки подключения. R1 и R2 параллельны. R3 и R4 последовательно. R5 параллельно R3+R4. Весь блок (R1||R2) параллелен всему блоку (R3+R4) и R5.
   Тогда: R1||R2 => R12 = (3*6)/(3+6) = 2 Ом.
   R3+R4 = 2+12 = 14 Ом.
   R12 || (R3+R4) || R5 => 1/R_total = 1/R12 + 1/(R3+R4) + 1/R5 = 1/2 + 1/14 + 1/6 = (21+3+7)/42 = 31/42. R_total = 42/31 Ом.
   Если I₁ = 2А - общий ток, то U = I1 * R_total = 2 * 42/31 = 84/31 В.
   Ток через R5: I₅ = U/R₅ = (84/31)/6 = 14/31 А.
   Ток через R₃₄: I₃₄ = U/(R₃+R₄) = (84/31)/14 = 6/31 А.
   Ток через R₁₂: I₁₂ = U/R₁₂ = (84/31)/2 = 42/31 А.
   Проверка: I₁₂ + I₃₄ + I₅ = 42/31 + 6/31 + 14/31 = 62/31 = 2А. Это соответствует общему току I₁.
   Теперь найдем токи через R1 и R2:
   I₁ = I₁₂ * (R₂ / (R₁ + R₂)) = (42/31) * (6 / (3+6)) = (42/31) * (6/9) = (42/31) * (2/3) = 28/31 А.
   I₂ = I₁₂ * (R₁ / (R₁ + R₂)) = (42/31) * (3 / (3+6)) = (42/31) * (3/9) = (42/31) * (1/3) = 14/31 А.
   Ток через R3 и R4 равен I₃₄ = 6/31 А.
8. Шаг 7: Итог по токам:
   I₁ (ток через R1) = 28/31 А ≈ 0.90 А.
   I₂ (ток через R2) = 14/31 А ≈ 0.45 А.
   I₃ (ток через R3) = 6/31 А ≈ 0.19 А.
   I₄ (ток через R4) = 6/31 А ≈ 0.19 А.
   I₅ (ток через R5) = 14/31 А ≈ 0.45 А.

в) Напряжение на каждом резисторе:

1. Шаг 1: Напряжение на всей цепи U = 84/31 В ≈ 2.71 В.
2. Шаг 2: Напряжение на параллельных участках одинаково.
   U₁₂ (на R1 и R2) = U₃₄ (на R3 и R4) = U₅ (на R5) = U = 84/31 В ≈ 2.71 В.
3. Шаг 3: Напряжение на R1:
   \( U_{R1} = I_1 · R_1 = (28/31 \text{ А}) \cdot (3 \text{ Ом}) = 84/31 \text{ В} \approx 2.71 \text{ В} \)
4. Шаг 4: Напряжение на R2:
   \( U_{R2} = I_2 · R_2 = (14/31 \text{ А}) \cdot (6 \text{ Ом}) = 84/31 \text{ В} \approx 2.71 \text{ В} \)
5. Шаг 5: Напряжение на R3:
   \( U_{R3} = I_3 · R_3 = (6/31 \text{ А}) \cdot (2 \text{ Ом}) = 12/31 \text{ В} \approx 0.39 \text{ В} \)
6. Шаг 6: Напряжение на R4:
   \( U_{R4} = I_4 · R_4 = (6/31 \text{ А}) \cdot (12 \text{ Ом}) = 72/31 \text{ В} \approx 2.32 \text{ В} \)
7. Шаг 7: Напряжение на R5:
   \( U_{R5} = I_5 · R_5 = (14/31 \text{ А}) \cdot (6 \text{ Ом}) = 84/31 \text{ В} \approx 2.71 \text{ В} \)
8. Проверка: Сумма напряжений на последовательно соединенных резисторах R3 и R4 должна быть равна напряжению на этом участке.
   \( U_{R3} + U_{R4} = 12/31 \text{ В} + 72/31 \text{ В} = 84/31 \text{ В} \). Это равно U₃₄, что подтверждает правильность расчета.

Итог:

• а) Общее сопротивление цепи: R = 42/31 Ом ≈ 1.35 Ом.
• б) Силы тока:
  I₁ (через R₁) = 28/31 А ≈ 0.90 А.
  I₂ (через R₂) = 14/31 А ≈ 0.45 А.
  I₃ (через R₃) = 6/31 А ≈ 0.19 А.
  I₄ (через R₄) = 6/31 А ≈ 0.19 А.
  I₅ (через R₅) = 14/31 А ≈ 0.45 А.
• в) Напряжения:
  U₁ (на R₁) = 84/31 В ≈ 2.71 В.
  U₂ (на R₂) = 84/31 В ≈ 2.71 В.
  U₃ (на R₃) = 12/31 В ≈ 0.39 В.
  U₄ (на R₄) = 72/31 В ≈ 2.32 В.
  U₅ (на R₅) = 84/31 В ≈ 2.71 В.