3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону BD.

Рассмотрим треугольник BFD. Угол BFD = 30 градусов, угол BDF = 45 градусов. Сторона BF = 4.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Тогда угол DBF = 180 - 30 - 45 = 105 градусов.

По теореме синусов:

$$\frac{BD}{\sin(30^{\circ})} = \frac{4}{\sin(45^{\circ})}$$

$$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$$

$$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\frac{BD}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$BD = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Ответ: $$BD = 2\sqrt{2}$$