Используя формулы сокращенного умножения, разложите многочлен на множители: (5v^6 + 3)^2 – 60v^6 = ?

Решение:

Для решения этого задания воспользуемся формулой квадрата разности: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) и формулой квадрата суммы: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Также пригодится формула разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

1. Раскроем квадрат суммы в первом слагаемом: \( (5v^6 + 3)^2 = (5v^6)^2 + 2 \cdot 5v^6 \cdot 3 + 3^2 = 25v^{12} + 30v^6 + 9 \).
2. Подставим это в исходное выражение: \( (25v^{12} + 30v^6 + 9) - 60v^6 \).
3. Приведем подобные слагаемые: \( 25v^{12} + 30v^6 - 60v^6 + 9 = 25v^{12} - 30v^6 + 9 \).
4. Теперь у нас получилось выражение, которое является квадратом разности: \( 25v^{12} - 30v^6 + 9 = (5v^6)^2 - 2 \cdot 5v^6 \cdot 3 + 3^2 = (5v^6 - 3)^2 \).

Таким образом, многочлен разложен на множители.

Ответ: \( (5v^6 - 3)^2 \).