Используя график функции y=f(x) (см. рис.), определите и запишите ответ: 1. Наибольшее и наименьшее значение функции. 2. Промежутки возрастания и убывания функции. 3. Область определения функции 4. Область значения функции 5. Координаты точек графика, производная в которых равна нулю. При выполнении следующих заданий запишите ход решения и полученный ответ. 6. Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции y(x) = x-2: A(1;3); B(0;-2); C (2; 4); Д (3; 1). 7. Найдите значение cos а, если известно, что sin a=1/4 и а ∈ II четверти. 8. Решите уравнение: 2^x-2=32^2x. 9. Вычислите значение выражения: log3 24-log3 8+log6 12+ log6 3 10. Решите уравнение: log3 (3x-16) = 2. 11. Найдите значение выражения: 64^(-5/6) - (0,125)^(-1/3) - 32*2^(-4) - 16^(-1/2) + (3^0)^4 * 4 12. Материальная точка движется по закону: x(t) = 1/3 t^3 - 2t^2 + 1 Найти скорость точки в момент времени t=3c. 13. Найдите область определения функции y = lg(x²+2x). 14. Решите уравнение √x + 7 = 3

Решение:

1. Наибольшее и наименьшее значение функции:

Наибольшее значение функции: 4 (в точке x=2).

Наименьшее значение функции: -3 (приблизительно в точке x=-1.5).

2. Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция возрастает на промежутках \( [-1; 2] \).

Функция убывает на промежутках \( (-\infty; -1] \) и \( [2; +\infty) \).

3. Область определения функции:

Область определения функции: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) (все действительные числа).

4. Область значения функции:

Область значения функции: \( E(f) = [-3; 4] \).

5. Координаты точек графика, производная в которых равна нулю:

Производная равна нулю в точках экстремума (максимума и минимума). Эти точки соответствуют локальным максимуму и минимуму функции.

Точка максимума: \( (2; 4) \).

Точка минимума: \( (-1; -3) \) (приблизительно).

6. Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции y(x) = x-2:

Подставим координаты каждой точки в уравнение функции:

A(1;3): \( 3 = 1 - 2 \) → \( 3 = -1 \) (неверно).

B(0;-2): \( -2 = 0 - 2 \) → \( -2 = -2 \) (верно).

C(2;4): \( 4 = 2 - 2 \) → \( 4 = 0 \) (неверно).

Д(3;1): \( 1 = 3 - 2 \) → \( 1 = 1 \) (верно).

Ответ: Точки B(0;-2) и Д(3;1) принадлежат графику функции.

7. Найдите значение cos а, если известно, что sin a=1/4 и а ∈ II четверти.

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

\[ (\frac{1}{4})^2 + \cos^2 a = 1 \]

\[ \frac{1}{16} + \cos^2 a = 1 \]

\[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \]

\[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Так как \( a \) принадлежит II четверти, \( \cos a \) отрицателен.

Ответ: \( \cos a = -\frac{\sqrt{15}}{4} \).

8. Решите уравнение: 2^x-2=32^2x.

Представим 32 как степень 2: \( 32 = 2^5 \).

\[ 2^{x-2} = (2^5)^{2x} \]

\[ 2^{x-2} = 2^{10x} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x - 2 = 10x \]

\[ -2 = 9x \]

\[ x = -\frac{2}{9} \]

Ответ: \( x = -\frac{2}{9} \).

9. Вычислите значение выражения: log₃ 24 - log₃ 8 + log₆ 12 + log₆ 3

Используем свойства логарифмов: \( \log_b M - \log_b N = \log_b (M/N) \) и \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \).

\[ (\log_3 24 - \log_3 8) + (\log_6 12 + \log_6 3) \]

\[ \log_3 (24/8) + \log_6 (12 \cdot 3) \]

\[ \log_3 3 + \log_6 36 \]

\[ 1 + 2 \]

\[ 3 \]

Ответ: 3.

10. Решите уравнение: log₃ (3x-16) = 2.

По определению логарифма:

\[ 3x - 16 = 3^2 \]

\[ 3x - 16 = 9 \]

\[ 3x = 9 + 16 \]

\[ 3x = 25 \]

\[ x = \frac{25}{3} \]

Проверка ОДЗ: \( 3x - 16 > 0 \) → \( 3 \cdot \frac{25}{3} - 16 = 25 - 16 = 9 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: \( x = \frac{25}{3} \).

11. Найдите значение выражения: 64^-5/6 - (0,125)^-1/3 - 32*2^-4 - 16^-1/2 + (3⁰)⁴ * 4

Преобразуем каждое слагаемое:

\[ 64^{-5/6} = (2^6)^{-5/6} = 2^{-5} = \frac{1}{32} \]

\[ (0.125)^{-1/3} = (\frac{1}{8})^{-1/3} = (2^{-3})^{-1/3} = 2^1 = 2 \]

\[ 32 \cdot 2^{-4} = 2^5 \cdot 2^{-4} = 2^1 = 2 \]

\[ 16^{-1/2} = (4^2)^{-1/2} = 4^{-1} = \frac{1}{4} \]

\[ (3^0)^4 \cdot 4 = 1^4 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4 \]

Подставим полученные значения:

\[ \frac{1}{32} - 2 - 2 - \frac{1}{4} + 4 \]

\[ \frac{1}{32} - 4 - \frac{1}{4} + 4 \]

\[ \frac{1}{32} - \frac{8}{32} \]

\[ -\frac{7}{32} \]

Ответ: \( -\frac{7}{32} \).

12. Материальная точка движется по закону: x(t) = 1/3 t³ - 2t² + 1. Найти скорость точки в момент времени t=3c.

Скорость точки — это производная от координаты по времени:

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 1) \]

\[ v(t) = t^2 - 4t \]

Найдем скорость в момент времени \( t = 3 \):

\[ v(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \]

Ответ: Скорость точки равна -3 м/с.

13. Найдите область определения функции y = lg(x²+2x).

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\[ x^2 + 2x > 0 \]

Разложим на множители:

\[ x(x+2) > 0 \]

Решим неравенство методом интервалов. Корни: \( x=0 \) и \( x=-2 \).

Интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 0) \), \( (0; +\infty) \).

Проверим знаки:

При \( x < -2 \) (например, \( x=-3 \)): \( -3(-3+2) = -3(-1) = 3 > 0 \) (подходит).

При \( -2 < x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( -1(-1+2) = -1(1) = -1 < 0 \) (не подходит).

При \( x > 0 \) (например, \( x=1 \)): \( 1(1+2) = 1(3) = 3 > 0 \) (подходит).

Ответ: Область определения функции: \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).

14. Решите уравнение √x + 7 = 3.

Изолируем корень:

\[ \sqrt{x} = 3 - 7 \]

\[ \sqrt{x} = -4 \]

Квадратный корень из неотрицательного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет.