Используя графики функций y=\(\frac{1}{x}\) и y=\(\sqrt{x}\) решите уравнение: \(\frac{1}{x}\) = \(\sqrt{x}\).

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Нам нужно найти такое значение x, при котором значения функций y = 1/x и y = √x будут равны. Это значит, что графики этих функций должны пересекаться.

1. Анализируем функции:

• y = 1/x: Это гипербола. Она находится в первой и третьей координатных четвертях.
• y = √x: Это верхняя половина параболы, которая идет из начала координат вправо. Она находится только в первой координатной четверти.

2. Ищем точки пересечения:

Поскольку обе функции существуют в первой координатной четверти, именно там мы будем искать точки пересечения. Чтобы найти их, нам нужно решить уравнение:

\[ \frac{1}{x} = \sqrt{x} \]

3. Решаем уравнение:

Чтобы избавиться от дроби и корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \left( \frac{1}{x} \right)^2 = \left( \sqrt{x} \right)^2 \]

Получаем:

\[ \frac{1}{x^2} = x \]

Теперь умножим обе части на x² (при условии, что x ≠ 0):

\[ 1 = x^3 \]

Извлекаем кубический корень из обеих частей:

\[ x = \sqrt[3]{1} \]

Это дает нам:

\[ x = 1 \]

4. Проверяем решение:

Подставим x = 1 в исходные функции:

• Для y = 1/x: y = 1/1 = 1
• Для y = √x: y = √1 = 1

Значения y совпадают, значит, x = 1 — правильное решение.

Ответ: 1