Используя известные Вам методы (метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные уравнения). решите следующие тригонометрические уравнения: a) 2 cos² x + 2 sin x = 2,5; б) sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0; B) 3 cos 2x + 11 sin x = 7; г) sin 2x + 2√3sin² x = 0; д) 25 cos²х - 16 = 0.

Решение:

а) 2 cos² x + 2 sin x = 2,5

1. Заменим cos²x на 1 - sin²x:
\( 2(1 - \sin^2 x) + 2 \sin x = 2.5 \)
2. Раскроем скобки:
\( 2 - 2 \sin^2 x + 2 \sin x = 2.5 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону:
\( -2 \sin^2 x + 2 \sin x + 2 - 2.5 = 0 \) \( -2 \sin^2 x + 2 \sin x - 0.5 = 0 \)
4. Умножим на -1:
\( 2 \sin^2 x - 2 \sin x + 0.5 = 0 \)
5. Пусть \( y = \sin x \). Получаем квадратное уравнение:
\( 2y^2 - 2y + 0.5 = 0 \)
6. Умножим на 2:
\( 4y^2 - 4y + 1 = 0 \)
7. Найдём дискриминант:
\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \)
8. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:
\( y = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0.5 \)
9. Подставим \( \sin x \) вместо \( y \):
\( \sin x = 0.5 \)
10. Решением являются:
\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) sin²x - 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos²x (при условии, что cos x ≠ 0):

1. \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
2. \( \tan^2 x - 3 \tan x + 2 = 0 \)
3. Пусть \( z = \tan x \). Получаем квадратное уравнение:
\( z^2 - 3z + 2 = 0 \)
4. Найдём дискриминант:
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
5. Найдём корни:
\( z_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \) \( z_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)
6. Теперь найдём \( x \) для каждого случая:
\( \tan x = 2 \) \( \Rightarrow x = \arctan(2) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) \( \tan x = 1 \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
7. Проверим, не равен ли \( \cos x \) нулю. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в исходное уравнение: \( (\pm 1)^2 - 3 (\pm 1) \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 1 \neq 0 \). Следовательно, \( \cos x \neq 0 \).

в) 3 cos 2x + 11 sin x = 7

1. Заменим \( \cos 2x \) на \( 1 - 2\sin^2 x \):
\( 3(1 - 2\sin^2 x) + 11 \sin x = 7 \)
2. Раскроем скобки:
\( 3 - 6\sin^2 x + 11 \sin x = 7 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону:
\( -6\sin^2 x + 11 \sin x + 3 - 7 = 0 \) \( -6\sin^2 x + 11 \sin x - 4 = 0 \)
4. Умножим на -1:
\( 6\sin^2 x - 11 \sin x + 4 = 0 \)
5. Пусть \( y = \sin x \). Получаем квадратное уравнение:
\( 6y^2 - 11y + 4 = 0 \)
6. Найдём дискриминант:
\( D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25 \)
7. Найдём корни:
\( y_1 = \frac{11 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \) \( y_2 = \frac{11 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
8. Рассмотрим \( y_1 = \frac{4}{3} \):
\( \sin x = \frac{4}{3} \). Так как \( \frac{4}{3} > 1 \), решений нет.
9. Рассмотрим \( y_2 = \frac{1}{2} \):
\( \sin x = \frac{1}{2} \)
10. Решением являются:
\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

г) sin 2x + 2√3sin² x = 0

1. Заменим \( \sin 2x \) на \( 2 \sin x \cos x \):
\( 2 \sin x \cos x + 2\sqrt{3} \sin^2 x = 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( 2 \sin x \):
\( 2 \sin x (\cos x + \sqrt{3} \sin x) = 0 \)
3. Приравниваем каждый множитель к нулю:
\( 2 \sin x = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = 0 \) \( \Rightarrow x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). \( \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 \)
4. Это однородное уравнение первой степени. Разделим на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \)):
\( 1 + \sqrt{3} \tan x = 0 \) \( \sqrt{3} \tan x = -1 \) \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
5. Решением является:
\( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. Проверим, не равен ли \( \cos x \) нулю. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в \( \cos x + \sqrt{3} \sin x \): \( 0 + \sqrt{3} (\pm 1) = \pm \sqrt{3} \neq 0 \). Следовательно, \( \cos x \neq 0 \) для этого случая.

д) 25 cos²х - 16 = 0

1. Перенесём 16 в правую часть:
\( 25 \cos^2 x = 16 \)
2. Разделим на 25:
\( \cos^2 x = \frac{16}{25} \)
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей:
\( \cos x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} \) \( \cos x = \pm \frac{4}{5} \)
4. Рассмотрим два случая:
\( \cos x = \frac{4}{5} \) \( \Rightarrow x = \pm \arccos{\left(\frac{4}{5}\right)} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). \( \cos x = -\frac{4}{5} \) \( \Rightarrow x = \pm \arccos{\left(-\frac{4}{5}\right)} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. Можно записать в более компактной форме:
\( x = \pm \arccos{\left(\frac{4}{5}\right)} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Ответ:

а) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

б) \( x = \arctan(2) + \pi n \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)

в) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

г) \( x = \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)

д) \( x = \pm \arccos{\left(\frac{4}{5}\right)} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)