Используя одну из формул сокращённого умножения, найдите четыре делителя числа 10¹⁶ − 1.

Пошаговое решение:

• Представим число как разность квадратов: \[10^{16} - 1 = (10^8)^2 - 1^2\]
• Применим формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]В нашем случае: \[(10^8)^2 - 1^2 = (10^8 - 1)(10^8 + 1)\]
• Рассмотрим первый множитель: \[10^8 - 1 = 99999999\] Это число делится на 3 и на 9 (сумма цифр делится на 3 и 9). Также, \(10^8 - 1 = (10^4 - 1)(10^4 + 1) = (10^2 - 1)(10^2 + 1)(10^4 + 1) = (10 - 1)(10 + 1)(10^2 + 1)(10^4 + 1) = 9 \cdot 11 \cdot 101 \cdot 10001\]Таким образом, мы можем выделить делители: 3, 9, 11, 101, 10001.
• Рассмотрим второй множитель: \[10^8 + 1 = 100000001\] Это число делится на 17 и на 5882353 (проверка делением или использование онлайн-калькулятора).
• Четыре делителя числа \(10^{16} - 1\) могут быть, например: 3, 9, 11, 17.

Ответ: 3, 9, 11, 17