Используя признаки делимости и утверждения о делимости суммы и произведения, докажите, что:

Решение:

Для решения будем использовать следующие признаки делимости:

• На 2: Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8).


• На 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.


• На 4: Число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4.


• На 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Задания:

1. А) 234+6892 делится на 2
   
   Число 234 оканчивается на 4 (четная цифра), значит, делится на 2.
   
   Число 6892 оканчивается на 2 (четная цифра), значит, делится на 2.
   
   Сумма двух чисел, делящихся на 2, также делится на 2.


2. Б) 2416+76528 делятся на 4
   
   Число 2416 оканчивается на 16. \( 16 : 4 = 4 \), значит, 2416 делится на 4.
   
   Число 76528 оканчивается на 28. \( 28 : 4 = 7 \), значит, 76528 делится на 4.
   
   Сумма двух чисел, делящихся на 4, также делится на 4.


3. Г) 789+462 делится на 3
   
   Сумма цифр числа 789: \( 7 + 8 + 9 = 24 \). \( 24 : 3 = 8 \), значит, 789 делится на 3.
   
   Сумма цифр числа 462: \( 4 + 6 + 2 = 12 \). \( 12 : 3 = 4 \), значит, 462 делится на 3.
   
   Сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3.


4. Е) 2345-308 делится на 4
   
   Число 2345 оканчивается на 45. \( 45 \) не делится на 4 (остаток 1).
   
   Число 308 оканчивается на 08. \( 8 : 4 = 2 \), значит, 308 делится на 4.
   
   Разность числа, которое не делится на 4, и числа, которое делится на 4, не обязательно будет делиться на 4. Проверим: \( 2345 - 308 = 2037 \). Две последние цифры 37. \( 37 : 4 = 9 \) с остатком 1. Следовательно, утверждение неверно.


5. Ж) 3216-5684 делится на 3
   
   Сумма цифр числа 3216: \( 3 + 2 + 1 + 6 = 12 \). \( 12 : 3 = 4 \), значит, 3216 делится на 3.
   
   Сумма цифр числа 5684: \( 5 + 6 + 8 + 4 = 23 \). \( 23 \) не делится на 3 (остаток 2).
   
   Разность числа, которое делится на 3, и числа, которое не делится на 3, не делится на 3. Проверим: \( 3216 - 5684 = -2468 \). Сумма цифр \( 2 + 4 + 6 + 8 = 20 \), что не делится на 3. Следовательно, утверждение неверно.


6. 3) 563478-508 делится на 9
   
   Сумма цифр числа 563478: \( 5 + 6 + 3 + 4 + 7 + 8 = 33 \). \( 33 \) не делится на 9 (остаток 6).
   
   Сумма цифр числа 508: \( 5 + 0 + 8 = 13 \). \( 13 \) не делится на 9 (остаток 4).
   
   Разность двух чисел, не делящихся на 9, не обязательно будет делиться на 9. Проверим: \( 563478 - 508 = 562970 \). Сумма цифр \( 5 + 6 + 2 + 9 + 7 + 0 = 29 \), что не делится на 9. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Утверждения А, Б, Г верны. Утверждения Е, Ж, 3 неверны.