Используя производную функции, найти промежутки возрастания и убывания функции 1) f(x) = x² - 2 2) f(x) = 3 x3

1) Функция f(x) = x² - 2

• Шаг 1: Находим производную функции.

Производная функции f(x) = x² - 2 равна f'(x) = 2x.

• Шаг 2: Находим критические точки.

Критическая точка – это точка, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, 2x = 0, следовательно, x = 0.

• Шаг 3: Исследуем знаки производной на интервалах.

Рассмотрим два интервала: (-∞, 0) и (0, +∞).

• На интервале (-∞, 0) выберем тестовую точку, например, x = -1. Тогда f'(-1) = 2*(-1) = -2. Поскольку производная отрицательна, функция убывает на этом интервале.
• На интервале (0, +∞) выберем тестовую точку, например, x = 1. Тогда f'(1) = 2*1 = 2. Поскольку производная положительна, функция возрастает на этом интервале.

Вывод:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0].
• Функция возрастает на интервале [0, +∞).

2) Функция f(x) = 3/x³

• Шаг 1: Перепишем функцию.

Функцию f(x) = 3/x³ можно переписать как f(x) = 3x⁻³.

• Шаг 2: Находим производную функции.

Производная функции f(x) = 3x⁻³ равна f'(x) = 3*(-3)x⁻⁴ = -9x⁻⁴ = -9/x⁴.

• Шаг 3: Находим критические точки.

Производная не равна нулю ни при каких значениях x, но она не существует при x = 0. Следовательно, x = 0 является критической точкой (точкой разрыва).

• Шаг 4: Исследуем знаки производной на интервалах.

Рассмотрим два интервала: (-∞, 0) и (0, +∞).

• На интервале (-∞, 0) выберем тестовую точку, например, x = -1. Тогда f'(-1) = -9/(-1)⁴ = -9/1 = -9. Поскольку производная отрицательна, функция убывает на этом интервале.
• На интервале (0, +∞) выберем тестовую точку, например, x = 1. Тогда f'(1) = -9/(1)⁴ = -9/1 = -9. Поскольку производная отрицательна, функция убывает на этом интервале.

Вывод:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0).
• Функция убывает на интервале (0, +∞).

Функция не возрастает ни на каком интервале.

Ответ: 1) убывает на (-∞, 0], возрастает на [0, +∞); 2) убывает на (-∞, 0) и (0, +∞).