Используя результаты вычислений в задании 1 а), постройте график функции f(x) = x² − 6x + 4. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых f(x) < 0 и f(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее значение функции.

Перепишем функцию, выделив полный квадрат: \(f(x)=x^2-6x+4=(x-3)^2-5\). Поэтому вершина параболы — \((3;-5)\), ось симметрии — \(x=3\), ветви направлены вверх.

График функции:

а) Нули найдём из уравнения \((x-3)^2-5=0\): \((x-3)^2=5\), откуда \(x=3\pm\sqrt5\). Приблизительно это \(x\approx0.764\) и \(x\approx5.236\). Парабола направлена вверх, поэтому она ниже оси абсцисс между корнями и выше неё за их пределами.

Следовательно, \(f(x)<0\) при \(x\in(3-\sqrt5;3+\sqrt5)\), а \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;+infty)\). В нулях функции \(f(x)=0\).

б) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Наименьшее значение достигается в вершине: \(f(3)=-5\).

Ответ: нули — \(3-\sqrt5\) и \(3+\sqrt5\); \(f(x)<0\) при \(x\in(3-\sqrt5;3+\sqrt5)\), \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;+infty)\); функция убывает на \((-infty;3]\), возрастает на \([3;+infty)\); наименьшее значение равно −5.