Используя результаты, вычисленные в задании 1 а), постройте график функции g(x) = x² + 4x + 2. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых g(x) > 0 и g(x) < 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Приведём функцию к виду с выделенным квадратом: \(g(x)=x^2+4x+2=(x+2)^2-2\). Поэтому вершина параболы — \((-2;-2)\), ветви направлены вверх.

Нули найдём из уравнения \((x+2)^2-2=0\): \((x+2)^2=2\), откуда \(x=-2\pm\sqrt{2}\). Приближённо это \(x\approx-3.414\) и \(x\approx-0.586\).

График функции на показанном промежутке; отмечены нули и вершина:

Так как парабола направлена вверх, функция положительна вне промежутка между нулями и отрицательна между ними. До абсциссы вершины функция убывает, после неё возрастает.

• а) Нули: \(x=-2-\sqrt{2}\) и \(x=-2+\sqrt{2}\). \(g(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-2-\sqrt{2})\cup(-2+\sqrt{2};+\infty)\); \(g(x)<0\) при \(x\in(-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2})\).
• б) Функция убывает на \((-;-2]\) и возрастает на \([-2;+)\). Наименьшее значение равно \(-2\) и достигается при \(x=-2\).

Ответ: нули \(-2\pm\sqrt{2}\); положительна вне промежутка между нулями, отрицательна внутри; убывает до \(x=-2\), затем возрастает; наименьшее значение \(-2\).