3. Используя рисунок 64, найдите указанные величины. PK = ______ Если SMPK = 20, TO SMAB = ______ 2. В ΔABC AA1, BB1, CC1 — медианы. Дополните чертёж (см. рис. 65), проведя третью медиану. Запишите указанные величины: AC = ______ OB = ______ OA₁ = ______ BB₁ = ______ 4. В треугольнике МРК медианы МА и РВ пересекаются в точке О, МК = 12 см, МА = 9 см. Выполните чертёж и найдите а) Рмов, если РО > РВ на 4 см; б) Ѕмов, если SMPK = S.

Решение задания 3:

Рассмотрим рисунок 64. Обозначим сторону MB как x. Тогда, так как AB = BK, получаем BK = x. Следовательно, MK = MB + BK = x + x = 2x.

Так как AM = 8 и MK = 2x, то PK = MK = 2x. Следовательно, PK = 2 * AM = 2 * 8 = 16.

Так как AB = BK, то AK - медиана. Аналогично AM - медиана. Точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1, начиная от вершины. Таким образом, MB = \(\frac{1}{2}\) MK, то есть MB = \(\frac{1}{2}\) * 16 = 8.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Так как MAB подобен MPK и MK = 2MB, то коэффициент подобия k = 2. Тогда \(\frac{S_{MPK}}{S_{MAB}} = k^2 = 2^2 = 4\).

Если SMPK = 20, то SMAB = \(\frac{S_{MPK}}{4} = \frac{20}{4} = 5\).

Ответ: PK = 16, SMAB = 5

Решение задания 2:

Нарисуем треугольник ABC и проведем медианы AA₁, BB₁ и CC₁ , пересекающиеся в точке O.

Решение задания по рисунку 65:

По свойству медиан треугольника, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, начиная от вершины. Значит, если BO = 6, то OB₁ = 5. Следовательно, BB₁ = BO + OB₁ = 6 + 3 = 9.

Так как AO = 2, то OA₁ = 2. Следовательно, AA₁ = AO + OA₁ = 6.

AC = AB₁ + B₁C = 5 + 5 = 10

Ответ: AC = 10, OB = 6, OA₁ = 2, BB₁ = 9

Решение задания 4:

В треугольнике MPK медианы MA и PB пересекаются в точке O, MK = 12 см, MA = 9 см.

а) Pмов, если PO > PB на 4 см. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, то MO = \(\frac{2}{3}\)MA = \(\frac{2}{3}\) * 9 = 6 см. AO = \(\frac{1}{3}\)MA = \(\frac{1}{3}\) * 9 = 3 см. BO = \(\frac{2}{3}\)PB, DO = \(\frac{1}{3}\)PB, PB = PO - 4, PO = \(\frac{2}{3}\)PB, PO = \(\frac{2}{3}\)PB, PO - PB = 4, -\(\frac{1}{3}\)PB = 4, PB = -12 см

б) Sмов, если SMPK = S. Так как медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то Sмов = \(\frac{1}{6}\) SMPK = \(\frac{1}{6}\) S.

Ответ: Sмов = \(\frac{1}{6}\) S

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты добьешься больших успехов!