Используя рисунок найдите АС.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

На стороне AB отмечена точка L, а на стороне BC — точка N.

AL = 5, LN = 12, NC = 4, BN = 13.

В треугольнике LNB, \( \angle N = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в \( \triangle LNB \): \( LB^2 = LN^2 + BN^2 \)

\( LB^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313 \)

\( LB = \sqrt{313} \)

В \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \).

\( AB = AL + LB = 5 + \sqrt{313} \)

\( BC = BN + NC = 13 + 4 = 17 \)

По теореме Пифагора в \( \triangle ABC \): \( AC^2 = AB^2 - BC^2 \)

\( AC^2 = (5 + \sqrt{313})^2 - 17^2 \)

\( AC^2 = (25 + 10\sqrt{313} + 313) - 289 \)

\( AC^2 = 338 + 10\sqrt{313} - 289 \)

\( AC^2 = 49 + 10\sqrt{313} \)

\( AC = \sqrt{49 + 10\sqrt{313}} \)

Примечание: Рисунок может быть некорректен, так как \( \angle LNC \) обозначено как прямой угол, что подразумевает, что \( \angle BCN = 90^{\circ} \). В этом случае \( \triangle LNB \) не является прямоугольным. Если \( \angle LNC = 90^{\circ} \), то \( \angle BCN \) не может быть \( 90^{\circ} \). Предположим, что \( \angle B = 90^{\circ} \) или \( \angle A = 90^{\circ} \) или \( \angle C = 90^{\circ} \) как обычно в задачах. Судя по обозначению прямого угла на \( \angle C \), \( \triangle ABC \) — прямоугольный.

Если \( \angle LNC = 90^{\circ} \), то \( \triangle LNC \) — прямоугольный. Тогда \( LC^2 = LN^2 + NC^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160 \).

Если \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \triangle ANC \) — прямоугольный. \( AC^2 + NC^2 = AN^2 \).

В \( \triangle LNB \), если \( \angle B = 90^{\circ} \), то \( LN^2 = LB^2 + BN^2 \) -> \( 12^2 = LB^2 + 13^2 \) -> \( 144 = LB^2 + 169 \) -> \( LB^2 = -25 \), что невозможно.

Если \( \angle L = 90^{\circ} \) в \( \triangle ABL \), то \( AB^2 = AL^2 + LB^2 \).

Если \( \angle N = 90^{\circ} \) в \( \triangle LBN \), то \( LB^2 = LN^2 + BN^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313 \).

Если \( \angle C = 90^{\circ} \) в \( \triangle ABC \), то \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). \( BC = BN + NC = 13 + 4 = 17 \). \( AB = AL + LB = 5 + \sqrt{313} \). \( AC^2 + 17^2 = (5 + \sqrt{313})^2 \). \( AC^2 + 289 = 25 + 10\sqrt{313} + 313 \). \( AC^2 = 338 + 10\sqrt{313} - 289 = 49 + 10\sqrt{313} \).

Пересмотрим условие, предположив, что \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle C \) — прямой. Так как \( \triangle ABC \) имеет прямой угол \( \angle C \), и \( \angle LNC = 90^{\circ} \), это значит, что \( LN \parallel AC \).

Если \( LN \nparallel AC \), то \( \triangle BLN \) подобен \( \triangle BAC \).

Из подобия имеем: \( \frac{BL}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{LN}{AC} \).

\( BC = BN + NC = 13 + 4 = 17 \).

\( \frac{BN}{BC} = \frac{13}{17} \).

\( \frac{LN}{AC} = \frac{12}{AC} \).

\( \frac{13}{17} = \frac{12}{AC} \).

\( AC = \frac{12 \times 17}{13} = \frac{204}{13} \).

Проверим \( BL \). \( \frac{BL}{BA} = \frac{13}{17} \). \( BA = BL + AL = BL + 5 \). \( \frac{BL}{BL+5} = \frac{13}{17} \). \( 17 \times BL = 13 \times (BL+5) = 13 \times BL + 65 \). \( 4 \times BL = 65 \). \( BL = \frac{65}{4} \). \( BA = \frac{65}{4} + 5 = \frac{65+20}{4} = \frac{85}{4} \). \( \frac{BL}{BA} = \frac{65/4}{85/4} = \frac{65}{85} = \frac{13}{17} \). Это совпадает.

Итак, если \( LN \nparallel AC \), то \( AC = \frac{204}{13} \).

Ответ: \( \frac{204}{13} \).