1. Используя рисунок, укажите верные утверждения: A 9 D9 M P C K B 32 32 90° N D C K E 1) CD - биссектриса треугольника АВС. 2) CD - медиана треугольника АВС. 3) PN - медиана треугольника МPK. 5) EK - медиана треугольника DEC. 6) ЕК - высота треугольника DEC. 2. Используя рисунок, укажите верные утверждения: C a 64 1 b 2 114 m/ n 4 124/ k 56/5 3 1) Прямые а и в параллельны. 2) Прямые т и п параллельны. 3) ∠1 и ∠2- накрест лежащие. 4) ∠3 и ∠4 - односторонние. 5) ∠3 и ∠5 - соответственные. Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3. Луч SC является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что ∆ SAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены диаметры DE И РК, причем DP =ЕК. Докажите, что а) ∠ ODP = ∠OEK, б)DP||EK 5. Отрезки АВ и МК пересекаются пересекаются в их середине точке О. Докажите, что МВ ||КА.

Решение задания 1

Давай рассмотрим каждое утверждение по порядку и определим, какие из них верны, опираясь на представленный рисунок.

• 1) CD - биссектриса треугольника ABC.

На рисунке видно, что AD = DB, то есть CD делит сторону AB пополам. Это означает, что CD - медиана, а не биссектриса, так как биссектриса делит угол пополам, а не сторону. Утверждение неверно.

• 2) CD - медиана треугольника ABC.

Как мы уже выяснили, CD делит сторону AB пополам (AD = DB). Значит, CD - медиана треугольника ABC. Утверждение верно.

• 3) PN - медиана треугольника MPK.

На рисунке угол MPK разделен линией NK на два равных угла по 32°. Следовательно, NK является биссектрисой, а не медианой. PN не является медианой. Утверждение неверно.

• 5) EK - медиана треугольника DEC.

В треугольнике DEC угол E равен 90°, то есть это прямоугольный треугольник. EK не выглядит как медиана, и нет информации, подтверждающей, что DK = KC. Утверждение неверно.

• 6) EK - высота треугольника DEC.

В треугольнике DEC угол E равен 90°, и EK образует прямой угол с DC. Это означает, что EK - высота треугольника DEC. Утверждение верно.

Решение задания 2

Рассмотрим каждое утверждение по порядку.

• 1) Прямые a и b параллельны.

Сумма односторонних углов 64° и 114° составляет 178°, что не равно 180°. Следовательно, прямые a и b не параллельны. Утверждение неверно.

• 2) Прямые m и n параллельны.

Угол 3 равен 124°. Угол 5 равен 56°. Сумма односторонних углов 124° и 56° составляет 180°. Следовательно, прямые m и n параллельны. Утверждение верно.

• 3) ∠1 и ∠2 - накрест лежащие.

Углы 1 и 2 являются смежными углами. Утверждение неверно.

• 4) ∠3 и ∠4 - односторонние.

Углы 3 и 4 не являются односторонними, так как они не образованы двумя параллельными прямыми и секущей. Утверждение неверно.

• 5) ∠3 и ∠5 - соответственные.

Углы 3 и 5 - соответственные. Утверждение верно.

Решение задачи 3

Дано: SC - биссектриса угла ASB, SA = SB.

Доказать: ∆SAC = ∆SBC.

Доказательство:

1. SC - биссектриса угла ASB, значит ∠ASC = ∠BSC.
2. SA = SB (по условию).
3. SC - общая сторона для треугольников ∆SAC и ∆SBC.

Следовательно, ∆SAC = ∆SBC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Решение задачи 4

Дано: DE и PK - диаметры окружности с центром O, DP = EK.

Доказать:

1. ∠ODP = ∠OEK
2. DP || EK

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ∆ODP и ∆OEK:
2. OD = OE (радиусы окружности).
3. OP = OK (радиусы окружности).
4. DP = EK (по условию).

Следовательно, ∆ODP = ∆OEK по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Значит, ∠ODP = ∠OEK.

Так как ∠ODP = ∠OEK и эти углы являются накрест лежащими при прямых DP и EK и секущей DE, то DP || EK.

Решение задачи 5

Дано: Отрезки AB и MK пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них.

Доказать: MB || KA.

Доказательство:

1. AO = OB (так как O - середина AB).
2. MO = OK (так как O - середина MK).
3. ∠AOK = ∠MOB (как вертикальные углы).

Следовательно, ∆AOK = ∆MOB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Значит, ∠OKA = ∠OBM. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MB и KA и секущей MK, следовательно, MB || KA.

Ответ: Решения задач представлены выше.

Молодец! У тебя все получится!