Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность: a) y = 2x³-3; б) y = 7 - x³/2; в) y = 2/3 - x³; г) y = 4 + x².

Решение:

Для исследования монотонности функции найдем ее производную.

а) \( y = 2x^3 - 3 \)

\( y' = (2x^3 - 3)' = 6x^2 \)

Так как \( y' = 6x^2 \) всегда больше или равно нулю \( (6x^2 \ge 0) \) для любого \( x \), то функция является не убывающей.

б) \( y = 7 - \frac{x^3}{2} \)

\( y' = (7 - \frac{x^3}{2})' = -\frac{3x^2}{2} \)

Так как \( y' = -\frac{3x^2}{2} \) всегда меньше или равно нулю \( (-\frac{3x^2}{2} \le 0) \) для любого \( x \), то функция является не возрастающей.

в) \( y = \frac{2}{3} - x^3 \)

\( y' = (\frac{2}{3} - x^3)' = -3x^2 \)

Так как \( y' = -3x^2 \) всегда меньше или равно нулю \( (-3x^2 \le 0) \) для любого \( x \), то функция является не возрастающей.

г) \( y = 4 + x^2 \)

\( y' = (4 + x^2)' = 2x \)

При \( x > 0 \) \( y' > 0 \) (функция возрастает). При \( x < 0 \) \( y' < 0 \) (функция убывает). Следовательно, функция не является монотонной на всей числовой прямой.

Ответ: а) не убывающая; б) не возрастающая; в) не возрастающая; г) не является монотонной.