3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения: 1) a) 28.(23)2:212; 2) a) 162 ; 25 3) a) 310.710 218 ; б) 274 б) ;715:(75)2: 73; 95 615 б) ; 213.313, B) 323.82 B) 165 2010 B) 510.410 ;

Решим данные выражения, используя свойства степеней.

1) a) $$2^8 \cdot (2^3)^2 : 2^{12}$$

• Сначала возведем степень в степень: $$(2^3)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6$$
• Заменим в выражении: $$2^8 \cdot 2^6 : 2^{12}$$
• При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $$2^8 \cdot 2^6 = 2^{8+6} = 2^{14}$$
• Заменим в выражении: $$2^{14} : 2^{12}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$2^{14} : 2^{12} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$$

Ответ: 4

б) $$7^{15} : (7^5)^2 : 7^3$$

• Сначала возведем степень в степень: $$(7^5)^2 = 7^{5\cdot2} = 7^{10}$$
• Заменим в выражении: $$7^{15} : 7^{10} : 7^3$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$7^{15} : 7^{10} = 7^{15-10} = 7^5$$
• Заменим в выражении: $$7^5 : 7^3$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$7^5 : 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 = 49$$

Ответ: 49

2) a) $$\frac{16^2}{2^5}$$

• Представим 16 как 2 в степени 4: $$16 = 2^4$$
• Заменим в выражении: $$\frac{(2^4)^2}{2^5}$$
• Сначала возведем степень в степень: $$(2^4)^2 = 2^{4\cdot2} = 2^8$$
• Заменим в выражении: $$\frac{2^8}{2^5}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$\frac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} = 2^3 = 8$$

Ответ: 8

б) $$\frac{27^4}{9^5}$$

• Представим 27 как 3 в степени 3 и 9 как 3 в степени 2: $$27 = 3^3, 9 = 3^2$$
• Заменим в выражении: $$\frac{(3^3)^4}{(3^2)^5}$$
• Сначала возведем степень в степень: $$(3^3)^4 = 3^{3\cdot4} = 3^{12}, (3^2)^5 = 3^{2\cdot5} = 3^{10}$$
• Заменим в выражении: $$\frac{3^{12}}{3^{10}}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$\frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 = 9$$

Ответ: 9

в) $$\frac{32^3 \cdot 8^2}{16^5}$$

• Представим 32 как 2 в степени 5, 8 как 2 в степени 3 и 16 как 2 в степени 4: $$32 = 2^5, 8 = 2^3, 16 = 2^4$$
• Заменим в выражении: $$\frac{(2^5)^3 \cdot (2^3)^2}{(2^4)^5}$$
• Сначала возведем степень в степень: $$(2^5)^3 = 2^{5\cdot3} = 2^{15}, (2^3)^2 = 2^{3\cdot2} = 2^6, (2^4)^5 = 2^{4\cdot5} = 2^{20}$$
• Заменим в выражении: $$\frac{2^{15} \cdot 2^6}{2^{20}}$$
• При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: $$2^{15} \cdot 2^6 = 2^{15+6} = 2^{21}$$
• Заменим в выражении: $$\frac{2^{21}}{2^{20}}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$\frac{2^{21}}{2^{20}} = 2^{21-20} = 2^1 = 2$$

Ответ: 2

3) a) $$\frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{21^8}$$

• Представим 21 как произведение 3 и 7: $$21 = 3 \cdot 7$$
• Заменим в выражении: $$\frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{(3 \cdot 7)^8}$$
• Воспользуемся свойством степени произведения: $$(3 \cdot 7)^8 = 3^8 \cdot 7^8$$
• Заменим в выражении: $$\frac{3^{10} \cdot 7^{10}}{3^8 \cdot 7^8}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$\frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8} = 3^2 = 9, \frac{7^{10}}{7^8} = 7^{10-8} = 7^2 = 49$$
• Заменим в выражении: $$3^2 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441$$

Ответ: 441

б) $$\frac{6^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}}$$

• Представим 6 как произведение 2 и 3: $$6 = 2 \cdot 3$$
• Заменим в выражении: $$\frac{(2 \cdot 3)^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}}$$
• Воспользуемся свойством степени произведения: $$(2 \cdot 3)^{15} = 2^{15} \cdot 3^{15}$$
• Заменим в выражении: $$\frac{2^{15} \cdot 3^{15}}{2^{13} \cdot 3^{13}}$$
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя делимого вычитается показатель делителя: $$\frac{2^{15}}{2^{13}} = 2^{15-13} = 2^2 = 4, \frac{3^{15}}{3^{13}} = 3^{15-13} = 3^2 = 9$$
• Заменим в выражении: $$2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$$

Ответ: 36

в) $$\frac{20^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}}$$

• Представим 20 как произведение 5 и 4: $$20 = 5 \cdot 4$$
• Заменим в выражении: $$\frac{(5 \cdot 4)^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}}$$
• Воспользуемся свойством степени произведения: $$(5 \cdot 4)^{10} = 5^{10} \cdot 4^{10}$$
• Заменим в выражении: $$\frac{5^{10} \cdot 4^{10}}{5^{10} \cdot 4^{10}} = 1$$

Ответ: 1