14.* Используя все числа 2, 3, 4, 5 по одному разу, составьте цепную дробь, которая меньше 1 и имеет наибольшее значение.

Ответ: \[ \frac{1}{2 + \frac{1}{5 + \frac{1}{4 + \frac{1}{3}}}} \]

Для решения этой задачи нам нужно составить цепную дробь, используя числа 2, 3, 4 и 5 по одному разу, так, чтобы дробь была меньше 1 и имела наибольшее значение.

Логика такая:

• Чтобы цепная дробь была меньше 1, нужно, чтобы первая дробь была меньше 1. Это означает, что в числителе должно быть 1, а в знаменателе должно быть число больше 1.
• Чтобы дробь была наибольшей, нужно, чтобы числа в знаменателях были как можно меньше.

Таким образом, цепная дробь будет иметь вид:

\[ \frac{1}{a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}}} \]

где a, b, c и d - это числа 2, 3, 4 и 5, расположенные в определенном порядке.

Подбираем значения a, b, c и d так, чтобы дробь была меньше 1 и имела наибольшее значение.

Шаг 1. Начнем с наименьшего числа, которое больше 1, это 2. Поместим его в знаменатель первой дроби:

\[ a = 2 \]

Дробь примет вид:

\[ \frac{1}{2 + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}}} \]

Шаг 2. Теперь нам нужно выбрать значения для b, c и d. Чтобы дробь была наибольшей, нужно, чтобы числа в знаменателях были как можно больше. Поэтому, разместим оставшиеся числа в порядке убывания: 5, 4, 3.

\[ b = 5, c = 4, d = 3 \]

Тогда дробь примет вид:

\[ \frac{1}{2 + \frac{1}{5 + \frac{1}{4 + \frac{1}{3}}}} \]

Ответ: \[ \frac{1}{2 + \frac{1}{5 + \frac{1}{4 + \frac{1}{3}}}} \]