Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) $x^2-6x+15>0$; б) $a^2-8a+19>0$; в) $y^2>4y-5$; г) $8b-18<b^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) $x^2-6x+15>0$; б) $a^2-8a+19>0$; в) $y^2>4y-5$; г)…$ Фото задания

Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) $x^2-6x+15>0$; б) $a^2-8a+19>0$; в) $y^2>4y-5$; г) $8b-18<b^2$.

Accepted Answer

Используем правило: квадрат двучлена неотрицателен, поэтому сумма квадрата и положительного числа строго положительна.

$x^2-6x+15=x^2-6x+9+6=(x-3)^2+6$.
Так как $(x-3)^2\ge 0$, то $(x-3)^2+6>0$.
$a^2-8a+19=a^2-8a+16+3=(a-4)^2+3$.
Так как $(a-4)^2\ge 0$, то $(a-4)^2+3>0$.
Перенесём все члены в левую часть:
$y^2>4y-5\iff y^2-4y+5>0$.
Выделим квадрат:
$y^2-4y+5=y^2-4y+4+1=(y-2)^2+1>0$.
Следовательно, исходное неравенство доказано.
Перенесём все члены в левую часть:
$8b-180$.
Выделим квадрат:
$b^2-8b+18=b^2-8b+16+2=(b-4)^2+2>0$.
Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: все четыре неравенства верны при любых действительных значениях переменных.

Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) \(x^2-6x+15>0\); б) \(a^2-8a+19>0\); в) \(y^2>4y-5\); г) \(8b-18<b^2\).

Ответ: