2. Исследовать числовой ряд на сходимость $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{n \ln^2 n}$$.

Ответ: Ряд сходится.

Пошаговое решение:

Рассмотрим ряд \[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{n \ln^2 n}.\]

Применим интегральный признак Коши-Маклорена. Для этого рассмотрим функцию \[f(x) = \frac{3}{x \ln^2 x},\] где x ≥ 2. Эта функция положительна, непрерывна и убывает на данном интервале.

Вычислим несобственный интеграл:

\[\int_{2}^{\infty} \frac{3}{x \ln^2 x} dx = 3 \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln^2 x} dx.\]

Сделаем замену переменной: u = \ln x, du = \frac{1}{x} dx. Тогда:

Когда x = 2, u = \ln 2.

Когда x → ∞, u → ∞.

Интеграл преобразуется к виду:

\[3 \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u^2} du = 3 \left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln 2}^{\infty} = 3 \left(0 - \left(-\frac{1}{\ln 2}\right)\right) = \frac{3}{\ln 2}.\]

Поскольку интеграл \[\int_{2}^{\infty} \frac{3}{x \ln^2 x} dx\] сходится (имеет конечное значение), то по интегральному признаку Коши-Маклорена ряд \[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{n \ln^2 n}\] также сходится.

Ответ: Ряд сходится.