15. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы. 1) y = 8· x³ + 14· x² - 5 2) y = x6 − 6 x5 3 *) y = 4 · x² + 3 · x² - 6

Давай исследуем функции на монотонность и экстремумы. Будем находить производные и определять интервалы возрастания и убывания. 1) y = 8x³ + 14x² - 5 * Сначала найдем производную функции: \[y' = 24x^2 + 28x\] * Затем приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[24x^2 + 28x = 0\] \[4x(6x + 7) = 0\] Значит, \(x = 0\) или \(x = -\frac{7}{6}\). * Теперь определим знаки производной на интервалах, чтобы понять монотонность: * При \(x < -\frac{7}{6}\), например, \(x = -2\), \(y' = 24(-2)^2 + 28(-2) = 96 - 56 = 40 > 0\), функция возрастает. * При \(-\frac{7}{6} < x < 0\), например, \(x = -1\), \(y' = 24(-1)^2 + 28(-1) = 24 - 28 = -4 < 0\), функция убывает. * При \(x > 0\), например, \(x = 1\), \(y' = 24(1)^2 + 28(1) = 24 + 28 = 52 > 0\), функция возрастает. * Таким образом: * Функция возрастает на интервалах \((-\infty, -\frac{7}{6})\) и \((0, +\infty)\). * Функция убывает на интервале \((-\frac{7}{6}, 0)\). * Точка \(x = -\frac{7}{6}\) является точкой максимума. * Точка \(x = 0\) является точкой минимума. 2) y = x⁶ - 6x⁵ * Найдем производную: \[y' = 6x^5 - 30x^4\] * Приравняем к нулю: \[6x^5 - 30x^4 = 0\] \[6x^4(x - 5) = 0\] Значит, \(x = 0\) или \(x = 5\). * Определим знаки производной: * При \(x < 0\), например, \(x = -1\), \(y' = 6(-1)^5 - 30(-1)^4 = -6 - 30 = -36 < 0\), функция убывает. * При \(0 < x < 5\), например, \(x = 1\), \(y' = 6(1)^5 - 30(1)^4 = 6 - 30 = -24 < 0\), функция убывает. * При \(x > 5\), например, \(x = 6\), \(y' = 6(6)^5 - 30(6)^4 = 6(7776) - 30(1296) = 46656 - 38880 = 7776 > 0\), функция возрастает. * Таким образом: * Функция убывает на интервале \((-\infty, 5)\). * Функция возрастает на интервале \((5, +\infty)\). * Точка \(x = 5\) является точкой минимума. * В точке \(x=0\) экстремума нет, это точка перегиба. 3) y = 4x⁴ + 3x² - 6 * Найдем производную: \[y' = 16x^3 + 6x\] * Приравняем к нулю: \[16x^3 + 6x = 0\] \[2x(8x^2 + 3) = 0\] Значит, \(x = 0\). * Определим знаки производной: * При \(x < 0\), например, \(x = -1\), \(y' = 16(-1)^3 + 6(-1) = -16 - 6 = -22 < 0\), функция убывает. * При \(x > 0\), например, \(x = 1\), \(y' = 16(1)^3 + 6(1) = 16 + 6 = 22 > 0\), функция возрастает. * Таким образом: * Функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\). * Функция возрастает на интервале \((0, +\infty)\). * Точка \(x = 0\) является точкой минимума.

Ответ: Решение выше.

Ты молодец! У тебя всё получится!