6. Исследовать функцию y = x/(x^2-9) и построить ее график.

Исследуем функцию и построим ее график:

Для исследования функции y = x/(x²-9) и построения её графика, выполним следующие шаги:

• Область определения.
• Четность и нечетность.
• Точки пересечения с осями координат.
• Асимптоты.
• Интервалы монотонности и экстремумы.
• Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Начнем!

1. Область определения

Функция y = x/(x²-9) определена везде, кроме точек, где знаменатель равен нулю. Найдем эти точки:

\[x^2 - 9 = 0\]\[x^2 = 9\]\[x = \pm 3\]

Таким образом, область определения функции: \(x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)\)

2. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность или нечетность. Функция четная, если \(f(-x) = f(x)\), и нечетная, если \(f(-x) = -f(x)\).

\[f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 9} = \frac{-x}{x^2 - 9} = -\frac{x}{x^2 - 9} = -f(x)\]

Так как \(f(-x) = -f(x)\), функция является нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

• Пересечение с осью Ox:

Полагаем y = 0:

\[\frac{x}{x^2 - 9} = 0\]\[x = 0\]

Точка пересечения с осью Ox: (0, 0).

• Пересечение с осью Oy:

Полагаем x = 0:

\[y = \frac{0}{0^2 - 9} = 0\]

Точка пересечения с осью Oy: (0, 0).

4. Асимптоты

Найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.

• Вертикальные асимптоты:

Это прямые x = a, где a - точки разрыва функции (x = \(\pm\)3). Следовательно, вертикальные асимптоты: x = -3 и x = 3.

• Горизонтальные асимптоты:

Это прямые y = b, где b - предел функции при \(x \to \pm \infty\).

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 - 9} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2(1 - \frac{9}{x^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x(1 - \frac{9}{x^2})} = 0\]

Таким образом, горизонтальная асимптота: y = 0.

5. Интервалы монотонности и экстремумы

Найдем первую производную функции:

\[y' = \frac{(x^2 - 9) - x(2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{x^2 - 9 - 2x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-x^2 - 9}{(x^2 - 9)^2}\]

Так как \(-x^2 - 9 < 0\) для любого x, и \((x^2 - 9)^2 > 0\) для любого \(x
eq \pm 3\), то \(y' < 0\) для всех x в области определения.

Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Экстремумов нет.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

\[y'' = \frac{-2x(x^2 - 9)^2 - (-x^2 - 9)(2(x^2 - 9)(2x))}{(x^2 - 9)^4}\]\[y'' = \frac{-2x(x^2 - 9)^2 + 4x(x^2 + 9)(x^2 - 9)}{(x^2 - 9)^4}\]\[y'' = \frac{-2x(x^2 - 9) + 4x(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^3}\]\[y'' = \frac{-2x^3 + 18x + 4x^3 + 36x}{(x^2 - 9)^3}\]\[y'' = \frac{2x^3 + 54x}{(x^2 - 9)^3} = \frac{2x(x^2 + 27)}{(x^2 - 9)^3}\]

Найдем точки, где \(y'' = 0\) или не существует:

\[2x(x^2 + 27) = 0\]\[x = 0\]

и \(x = \pm 3\) (точки разрыва).

Анализируем знак второй производной:

• Для \(x < -3\): \(y'' < 0\) (функция выпукла вверх)
• Для \(-3 < x < 0\): \(y'' > 0\) (функция выпукла вниз)
• Для \(0 < x < 3\): \(y'' < 0\) (функция выпукла вверх)
• Для \(x > 3\): \(y'' > 0\) (функция выпукла вниз)

Точка перегиба: (0, 0).