Исследовать функцию t^3+6t^2+24t-5 на экстремум 13:15

Ответ: Функция не имеет экстремумов.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим первую производную функции

\[ f(t) = t^3 + 6t^2 + 24t - 5 \] \[ f'(t) = 3t^2 + 12t + 24 \]

• Шаг 2: Приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение

\[ 3t^2 + 12t + 24 = 0 \] Разделим обе части уравнения на 3: \[ t^2 + 4t + 8 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

• Шаг 3: Анализируем знак первой производной

Поскольку квадратный трехчлен \( t^2 + 4t + 8 \) не имеет действительных корней и коэффициент при \( t^2 \) положительный, то этот трехчлен всегда положителен. Следовательно, первая производная \( f'(t) = 3t^2 + 12t + 24 \) всегда положительна.

• Шаг 4: Делаем вывод об экстремумах

Так как первая производная всегда положительна, функция возрастает на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет экстремумов.