Исследовать и построить график функции y = x³ - 10x² - 25x с использованием производных. 1. Область определения функции. 2. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат. 3. Нахождение экстремумов функции. 4. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции. 5. Построение графика функции.

1. Область определения функции

Функция y = x³ - 10x² - 25x является многочленом, поэтому ее область определения - все действительные числа.

\[D(y) = (-\infty; +\infty)\]

2. Нахождение точек пересечения с осями координат

• С осью OX (y = 0):

\[x^3 - 10x^2 - 25x = 0\]

\[x(x^2 - 10x - 25) = 0\]

\[x_1 = 0\]

\[x^2 - 10x - 25 = 0\]

\[D = (-10)^2 - 4(1)(-25) = 100 + 100 = 200\]

\[x_{2,3} = \frac{10 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{2}\]

\[x_2 = 5 - 5\sqrt{2} \approx -2.07\]

\[x_3 = 5 + 5\sqrt{2} \approx 12.07\]

Точки пересечения с осью OX: (0, 0), (5 - 5\sqrt{2}, 0), (5 + 5\sqrt{2}, 0)

• С осью OY (x = 0):

\[y = 0^3 - 10(0)^2 - 25(0) = 0\]

Точка пересечения с осью OY: (0, 0)

3. Нахождение экстремумов функции

• Находим первую производную:

\[y' = 3x^2 - 20x - 25\]

• Приравниваем первую производную к нулю:

\[3x^2 - 20x - 25 = 0\]

\[D = (-20)^2 - 4(3)(-25) = 400 + 300 = 700\]

\[x_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{700}}{6} = \frac{20 \pm 10\sqrt{7}}{6} = \frac{10 \pm 5\sqrt{7}}{3}\]

\[x_1 = \frac{10 - 5\sqrt{7}}{3} \approx -1.70\]

\[x_2 = \frac{10 + 5\sqrt{7}}{3} \approx 8.37\]

• Находим вторую производную:

\[y'' = 6x - 20\]

• Определяем знаки второй производной в точках x₁ и x₂:

\[y''(-1.70) = 6(-1.70) - 20 = -10.2 - 20 = -30.2 < 0 \Rightarrow x_1 = -1.70 \text{ - точка максимума}\]

\[y''(8.37) = 6(8.37) - 20 = 50.22 - 20 = 30.22 > 0 \Rightarrow x_2 = 8.37 \text{ - точка минимума}\]

• Вычисляем значения функции в точках экстремума:

\[y(-1.70) = (-1.70)^3 - 10(-1.70)^2 - 25(-1.70) \approx -4.913 - 28.9 + 42.5 \approx 8.69\]

\[y(8.37) = (8.37)^3 - 10(8.37)^2 - 25(8.37) \approx 586.32 - 69.05 - 209.25 \approx -121.98\]

Точки экстремума: (-1.70, 8.69) - максимум, (8.37, -121.98) - минимум

4. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

• Интервалы, где y' > 0: функция возрастает
• Интервалы, где y' < 0: функция убывает

\[y' = 3x^2 - 20x - 25 > 0\]

Решением этого неравенства являются интервалы:

\[(-\infty; \frac{10 - 5\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{10 + 5\sqrt{7}}{3}; +\infty)\]

Функция возрастает на интервалах: (-\infty; -1.70) и (8.37; +\infty)

Функция убывает на интервале: (-1.70; 8.37)

5. Построение графика функции

На основе полученных данных можно построить график функции.