Исследовать на сходимость положительный ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+5}$$.

Question

Вопрос:

Исследовать на сходимость положительный ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+5}$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Исследование сходимости ряда

Рассмотрим ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $, где $ a_n = \frac{n}{n^4 + 5} $.

Применим признак сравнения. Для больших $ n $ справедливо приближение $ a_n = \frac{n}{n^4 + 5} \sim \frac{n}{n^4} = \frac{1}{n^3} $.

Рассмотрим ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $, где $ b_n = \frac{1}{n^3} $. Этот ряд является обобщённым гармоническим рядом $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $ со степенью $ p=3 $.

Так как $ p=3 > 1 $, ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $ сходится.

Теперь проверим условие для признака сравнения: $ s \lim_{n → ∞} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n → ∞} \frac{\frac{n}{n^4 + 5}}{\frac{1}{n^3}} = \lim_{n → ∞} \frac{n \cdot n^3}{n^4 + 5} = \lim_{n → ∞} \frac{n^4}{n^4 + 5} $.

Разделим числитель и знаменатель на $ n^4 $:

\[ \lim_{n → ∞} \frac{1}{1 + \frac{5}{n^4}} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \].

Так как предел равен конечному положительному числу (1), и ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} $ сходится, то по признаку сравнения ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4 + 5} $ также сходится.

Ответ: ряд сходится.