Исследовать сходимость положительных рядов по признаку Даламбера.

Решение:

Признак Даламбера применяется для рядов с положительными членами. Он основан на вычислении предела отношения последующего члена ряда к предыдущему.

Пусть дан ряд \( ∑_{n=1}^{\infty} a_n \), где \( a_n > 0 \) для всех \( n \).

Рассмотрим предел:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \]

• Если \( L < 1 \), ряд сходится абсолютно.
• Если \( L > 1 \), ряд расходится.
• Если \( L = 1 \), признак не даёт ответа, и нужно использовать другой признак сходимости.

В данном задании необходимо применить этот признак к ряду:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2n} \]

Здесь \( a_n = n^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2n} \).

Найдем \( a_{n+1} \):

\[ a_{n+1} = (n+1)^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2(n+1)} \]

Теперь вычислим предел отношения \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2(n+1)}}{n^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2n}} \]

Для больших \( n \), \( \operatorname{arctg} x \) ведет себя как \( x \) (при \( x \to 0 \)).

\( \operatorname{arctg} \frac{1}{2(n+1)} \approx \frac{1}{2(n+1)} \) и \( \operatorname{arctg} \frac{1}{2n} \approx \frac{1}{2n} \).

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot \frac{1}{2(n+1)}}{n^2 \cdot \frac{1}{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)}{2}}{\frac{n^2}{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 \]

Так как \( L=1 \), признак Даламбера не даёт ответа.

Попробуем использовать другой признак, например, признак сравнения или предел отношения для эквивалентных бесконечно малых функций.

Используем эквивалентность \( \operatorname{arctg} x \sim x \) при \( x \to 0 \).

Тогда \( a_n = n^2 \cdot \operatorname{arctg} \frac{1}{2n} \sim n^2 \cdot \frac{1}{2n} = \frac{n}{2} \).

Рассмотрим ряд \( ∑ \frac{n}{2} \).

\( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty \).

Так как общий член ряда \( a_n \) не стремится к нулю, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.