Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+n}\).

Рассмотрим положительный ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+n}\). Для всех \(n\geqslant 1\) выполняется \(2^n+n\geqslant 2^n\), поэтому

\[0<\frac{1}{2^n+n}\leqslant\frac{1}{2^n}.\]

Геометрический ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) сходится, так как его знаменатель \(q=\frac12\) и \(|q|<1\). Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится.