Исследуйте функции и постройте их графики: 1) y = -5x² - 10x 2) y = (x² - 1) / x

1. Исследование функции y = -5x² - 10x

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Коэффициенты:

• a = -5 (ветви параболы направлены вниз)
• b = -10
• c = 0

Вершина параболы:

• x_в = -b / (2a) = -(-10) / (2 * -5) = 10 / -10 = -1
• y_в = -5(-1)² - 10(-1) = -5(1) + 10 = -5 + 10 = 5
• Вершина в точке (-1; 5).

Точка пересечения с осью Oy:

• При x = 0, y = -5(0)² - 10(0) = 0. Точка (0; 0).

Точки пересечения с осью Ox:

• При y = 0: -5x² - 10x = 0
• -5x(x + 2) = 0
• x₁ = 0, x₂ = -2. Точки (0; 0) и (-2; 0).

2. Исследование функции y = (x² - 1) / x

Это дробно-рациональная функция.

Область определения: x ≠ 0 (знаменатель не должен быть равен нулю).

Вертикальная асимптота: x = 0 (ось Oy).

Горизонтальная/Наклонная асимптота:

• Степень числителя (2) на 1 больше степени знаменателя (1). Следовательно, есть наклонная асимптота.
• Выделим целую часть: y = x - 1/x
• Наклонная асимптота: y = x.

Точки пересечения с осью Ox:

• При y = 0: (x² - 1) / x = 0
• x² - 1 = 0
• x² = 1
• x₁ = 1, x₂ = -1. Точки (1; 0) и (-1; 0).

Точки пересечения с осью Oy:

• При x = 0 функция не определена.

Поведение функции:

• При x → +∞, y → +∞ (поскольку y ≈ x)
• При x → -∞, y → -∞ (поскольку y ≈ x)
• При x → 0+, y → -∞ (поскольку -1/x → -∞)
• При x → 0-, y → +∞ (поскольку -1/x → +∞)