Исследуйте функцию f (x) = 17 (x – 15) (x + 2).

Для исследования функции $$f(x) = 17(x - 15)(x + 2)$$ необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти область определения функции. 2. Найти нули функции (точки пересечения с осью x). 3. Найти интервалы знакопостоянства функции. 4. Найти производную функции. 5. Найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует). 6. Найти интервалы возрастания и убывания функции. 7. Найти точки экстремума (максимумы и минимумы). 8. Вычислить значения функции в точках экстремума. 9. Построить график функции, используя полученные данные. 1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа. $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ 2. Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0: $$17(x - 15)(x + 2) = 0$$ $$x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15$$ $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ Таким образом, нули функции: x = 15 и x = -2. 3. Интервалы знакопостоянства: Определим знаки функции на интервалах между нулями: - $$(-\infty; -2)$$: $$f(-3) = 17(-3 - 15)(-3 + 2) = 17(-18)(-1) > 0$$ - $$(-2; 15)$$: $$f(0) = 17(0 - 15)(0 + 2) = 17(-15)(2) < 0$$ - $$(15; +\infty)$$: $$f(16) = 17(16 - 15)(16 + 2) = 17(1)(18) > 0$$ 4. Производная функции: Разложим функцию: $$f(x) = 17(x^2 - 13x - 30) = 17x^2 - 221x - 510$$ Найдём производную: $$f'(x) = 34x - 221$$ 5. Критические точки: Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$34x - 221 = 0$$ $$x = \frac{221}{34} = 6.5$$ Таким образом, критическая точка: x = 6.5. 6. Интервалы возрастания и убывания: Определим знаки производной на интервалах, определяемых критической точкой: - $$(-\infty; 6.5)$$: $$f'(0) = 34(0) - 221 = -221 < 0$$ (функция убывает) - $$(6.5; +\infty)$$: $$f'(7) = 34(7) - 221 = 238 - 221 = 17 > 0$$ (функция возрастает) 7. Точки экстремума: Поскольку производная меняет знак в точке x = 6.5 с минуса на плюс, это точка минимума. 8. Значение функции в точке экстремума: $$f(6.5) = 17(6.5 - 15)(6.5 + 2) = 17(-8.5)(8.5) = -1226.75$$ 9. График функции: График функции представляет собой параболу, пересекающую ось x в точках x = -2 и x = 15, с минимальным значением в точке (6.5; -1226.75). Функция убывает на интервале $$(-\infty; 6.5)$$ и возрастает на интервале $$(6.5; +\infty)$$. Ответ: Функция исследована.