Исследуйте функцию и постройте ее график (300-302). 300. a) f(x)=\(\frac{1}{5}\)x^5 - \(\frac{1}{2}\)x^2; B) f(x)=\(\frac{1}{5}\)x^5 - \(\frac{1}{3}\)x^3; 6) f(x)=4x^2 - x^4; г) f(x)=5x^3 - 3x^5.

Решение:

Задание предполагает исследование и построение графиков для четырёх функций. Ниже приведено решение для каждого пункта.

300. а)

Дана функция \( f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^2 \).

1. Область определения: Все действительные числа, \( D(f) = \mathbb{R} \).

2. Чётность/нечётность:

\( f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{2}(-x)^2 = -\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^2 \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: \( x=0 \), \( f(0) = 0 \). Точка (0, 0).

С осью Ox: \( \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \) \( \implies x^2(\frac{1}{5}x^3 - \frac{1}{2}) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 2) и \( \frac{1}{5}x^3 = \frac{1}{2} \) \( \implies x^3 = \frac{5}{2} \) \( \implies x = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \).

4. Производная и интервалы монотонности:

\( f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^2)' = x^4 - x \).

Приравниваем производную к нулю: \( x^4 - x = 0 \) \( \implies x(x^3 - 1) = 0 \). Корни: \( x=0 \) и \( x=1 \).

Интервалы монотонности:

• \( (-\infty, 0) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (0, 1) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (1, \infty) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.

5. Экстремумы:

В точке \( x=0 \) производная не меняет знак, это не экстремум. В точке \( x=1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( f(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2-5}{10} = -\frac{3}{10} \). Минимум в точке (1, -3/10).

6. Вторая производная и точки перегиба:

\( f''(x) = (x^4 - x)' = 4x^3 - 1 \).

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 4x^3 - 1 = 0 \) \( \implies x^3 = \frac{1}{4} \) \( \implies x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \).

Интервалы выпуклости/вогнутости:

• \( (-\infty, \sqrt[3]{\frac{1}{4}}) \): \( f''(x) < 0 \) — функция выпукла вверх.
• \( (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}, \infty) \): \( f''(x) > 0 \) — функция выпукла вниз.

Точка \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \) является точкой перегиба.

7. График: (Требуется построение по точкам и результатам анализа)

300. B)

Дана функция \( f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 \).

1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \).

2. Чётность/нечётность:

\( f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: \( f(0) = 0 \). Точка (0, 0).

С осью Ox: \( \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \) \( \implies x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 3) и \( \frac{1}{5}x^2 = \frac{1}{3} \) \( \implies x^2 = \frac{5}{3} \) \( \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \).

4. Производная и интервалы монотонности:

\( f'(x) = x^4 - x^2 \).

Приравниваем производную к нулю: \( x^4 - x^2 = 0 \) \( \implies x^2(x^2 - 1) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 2), \( x=1 \), \( x=-1 \).

Интервалы монотонности:

• \( (-\infty, -1) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• \( (-1, 0) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (0, 1) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (1, \infty) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.

5. Экстремумы:

В точке \( x=-1 \) — максимум (смена знака с + на -). \( f(-1) = \frac{1}{5}(-1)^5 - \frac{1}{3}(-1)^3 = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{-3+5}{15} = \frac{2}{15} \). Максимум в точке (-1, 2/15).

В точке \( x=1 \) — минимум (смена знака с - на +). \( f(1) = \frac{1}{5}(1)^5 - \frac{1}{3}(1)^3 = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3-5}{15} = -\frac{2}{15} \). Минимум в точке (1, -2/15).

В точке \( x=0 \) производная не меняет знак, это не экстремум.

6. Вторая производная и точки перегиба:

\( f''(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) \).

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 2x(2x^2 - 1) = 0 \). Корни: \( x=0 \), \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Точки перегиба: \( x=0 \), \( x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \).

7. График: (Требуется построение)

300. 6)

Дана функция \( f(x) = 4x^2 - x^4 \).

1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \).

2. Чётность/нечётность:

\( f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x) \). Функция чётная.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: \( f(0) = 0 \). Точка (0, 0).

С осью Ox: \( 4x^2 - x^4 = 0 \) \( \implies x^2(4 - x^2) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 2), \( x=2 \), \( x=-2 \).

4. Производная и интервалы монотонности:

\( f'(x) = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2) \).

Приравниваем производную к нулю: \( 4x(2 - x^2) = 0 \). Корни: \( x=0 \), \( x=\pm\sqrt{2} \).

Интервалы монотонности:

• \( (-\infty, -\sqrt{2}) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• \( (-\sqrt{2}, 0) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (0, \sqrt{2}) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• \( (\sqrt{2}, \infty) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.

5. Экстремумы:

В точке \( x=-\sqrt{2} \) — максимум (смена знака с + на -). \( f(-\sqrt{2}) = 4(-\sqrt{2})^2 - (-\sqrt{2})^4 = 4(2) - 4 = 8 - 4 = 4 \). Максимум в точке (-√2, 4).

В точке \( x=0 \) — минимум (смена знака с - на +). \( f(0) = 0 \). Минимум в точке (0, 0).

В точке \( x=\sqrt{2} \) — максимум (смена знака с + на -). \( f(\sqrt{2}) = 4(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^4 = 4(2) - 4 = 8 - 4 = 4 \). Максимум в точке (√2, 4).

6. Вторая производная и точки перегиба:

\( f''(x) = 8 - 12x^2 = 4(2 - 3x^2) \).

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 2 - 3x^2 = 0 \) \( \implies x^2 = \frac{2}{3} \) \( \implies x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \).

Точки перегиба: \( x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \).

7. График: (Требуется построение)

300. г)

Дана функция \( f(x) = 5x^3 - 3x^5 \).

1. Область определения: \( D(f) = \mathbb{R} \).

2. Чётность/нечётность:

\( f(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -(5x^3 - 3x^5) = -f(x) \). Функция нечётная.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: \( f(0) = 0 \). Точка (0, 0).

С осью Ox: \( 5x^3 - 3x^5 = 0 \) \( \implies x^3(5 - 3x^2) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 3) и \( 5 - 3x^2 = 0 \) \( \implies x^2 = \frac{5}{3} \) \( \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \).

4. Производная и интервалы монотонности:

\( f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) \).

Приравниваем производную к нулю: \( 15x^2(1 - x^2) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 2), \( x=1 \), \( x=-1 \).

Интервалы монотонности:

• \( (-\infty, -1) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.
• \( (-1, 0) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• \( (0, 1) \): \( f'(x) > 0 \) — функция возрастает.
• \( (1, \infty) \): \( f'(x) < 0 \) — функция убывает.

5. Экстремумы:

В точке \( x=-1 \) — минимум (смена знака с - на +). \( f(-1) = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = -5 - 3(-1) = -5 + 3 = -2 \). Минимум в точке (-1, -2).

В точке \( x=1 \) — максимум (смена знака с + на -). \( f(1) = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5 - 3 = 2 \). Максимум в точке (1, 2).

В точке \( x=0 \) производная не меняет знак, это не экстремум.

6. Вторая производная и точки перегиба:

\( f''(x) = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2) \).

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 30x(1 - 2x^2) = 0 \). Корни: \( x=0 \), \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Точки перегиба: \( x=0 \), \( x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} \).

7. График: (Требуется построение)

Примечание: Для полного выполнения задания требуется построение графиков функций, которое выходит за рамки текстового ответа. Результаты анализа (область определения, чётность, точки пересечения, экстремумы, интервалы монотонности, точки перегиба, интервалы выпуклости/вогнутости) приведены для каждой функции.