Исследуйте функцию и постройте ее график: y = 4 / (x^2 + 1).

Краткое пояснение:

Исследование функции:

• 1. Область определения: Знаменатель \(x^2 + 1\) никогда не равен нулю, так как \(x^2 \ge 0\) для любого действительного \(x\), следовательно \(x^2 + 1 \ge 1\). Таким образом, область определения — все действительные числа: \(D(y) = (-\infty; +\infty)\).
• 2. Чётность/Нечётность: Заменим \(x\) на \(-x\): \(y(-x) = \frac{4}{(-x)^2 + 1} = \frac{4}{x^2 + 1} = y(x)\). Функция является чётной, что означает симметричность графика относительно оси ординат (оси Y).
• 3. Точки пересечения с осями:
  • С осью Y: При \(x = 0\), \(y = \frac{4}{0^2 + 1} = 4\). Точка пересечения с осью Y: \((0, 4)\).
  • С осью X: Приравняем \(y\) к нулю: \(\frac{4}{x^2 + 1} = 0\). Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен 4 и никогда не может быть равен нулю. Следовательно, график не пересекает ось X.
• 4. Экстремумы и интервалы монотонности: Найдем первую производную функции: \(y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x^2 + 1} \right) = 4 \cdot (-1) (x^2 + 1)^{-2} (2x) = -\frac{8x}{(x^2 + 1)^2}\).
  • Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \(-\frac{8x}{(x^2 + 1)^2} = 0\) => \(-8x = 0\) => \(x = 0\).
  • Интервалы монотонности:
    • Если \(x < 0\), то \(y' > 0\), функция возрастает.
    • Если \(x > 0\), то \(y' < 0\), функция убывает.
  • Экстремум: В точке \(x = 0\) функция имеет максимум, так как она возрастает слева от 0 и убывает справа. Значение функции в максимуме: \(y(0) = 4\). Точка максимума: \((0, 4)\).
• 5. Асимптоты: Вертикальных асимптотот нет, так как область определения — все действительные числа. Горизонтальные асимптоты: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x^2 + 1} = 0\). Горизонтальная асимптота — ось X (\(y = 0\)).
• 6. Направление выпуклости и точки перегиба: Найдем вторую производную: \(y'' = \frac{d}{dx} \left( -\frac{8x}{(x^2 + 1)^2} \right) = -8 \frac{1 (x^2 + 1)^2 - x 2(x^2 + 1) 2x}{(x^2 + 1)^4} = -8 \frac{(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^3} = -8 \frac{1 - 3x^2}{(x^2 + 1)^3} = \frac{8(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}\).
  • Приравняем вторую производную к нулю: \(\frac{8(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3} = 0\) => \(3x^2 - 1 = 0\) => \(x^2 = \frac{1}{3}\) => \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
  • Интервалы выпуклости:
    • Если \(x < -\frac{\sqrt{3}}{3}\) или \(x > \frac{\sqrt{3}}{3}\), то \(y'' > 0\), функция выпукла вверх (вогнута).
    • Если \(-\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}\), то \(y'' < 0\), функция выпукла вниз (выпукла).
  • Точки перегиба: \(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\). При \(x = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(y = \frac{4}{(\frac{1}{3}) + 1} = \frac{4}{\frac{4}{3}} = 3\). При \(x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(y = 3\). Точки перегиба: \((-\frac{\sqrt{3}}{3}, 3)\) и \((\frac{\sqrt{3}}{3}, 3)\).

Построение графика:

График функции симметричен относительно оси Y. Он проходит через точку (0, 4), где находится максимум. Функция возрастает до x=0 и убывает после x=0. График приближается к оси X (y=0) при x стремящемся к бесконечности. Точки перегиба находятся в \((-\frac{\sqrt{3}}{3}, 3)\) и \((\frac{\sqrt{3}}{3}, 3)\).