Исследуйте функцию на четность: a) y = x₂ + 2x₄ + 1; 6) y = x / (x² + 1); B) y = (-3x² + 1) / (1 - x⁴); г) y = 5 - 3x³.

Исследование функций на четность

Функция называется чётной, если для любого x из её области определения выполняется условие f(-x) = f(x).

Функция называется нечётной, если для любого x из её области определения выполняется условие f(-x) = -f(x).

a) \( y = x^2 + 2x^4 + 1 \)

Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).

Проверим условие чётности/нечётности:

\( f(-x) = (-x)^2 + 2(-x)^4 + 1 = x^2 + 2x^4 + 1 \)

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.

6) \( y = \frac{x}{x^2+1} \)

Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \) (знаменатель \( x^2+1 \) не равен нулю ни при каком \( x \)).

Проверим условие чётности/нечётности:

\( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} \)

Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечётной.

B) \( y = \frac{-3x^2 + 1}{1-x^4} \)

Область определения: \( 1 - x^4 \neq 0 \), то есть \( x^4 \neq 1 \), \( x \neq \pm 1 \). \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

Проверим условие чётности/нечётности:

\( f(-x) = \frac{-3(-x)^2 + 1}{1-(-x)^4} = \frac{-3x^2 + 1}{1-x^4} \)

Так как \( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.

г) \( y = 5 - 3x^3 \)

Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).

Проверим условие чётности/нечётности:

\( f(-x) = 5 - 3(-x)^3 = 5 - 3(-x^3) = 5 + 3x^3 \)

Сравнивая \( f(-x) = 5 + 3x^3 \) с \( f(x) = 5 - 3x^3 \) и \( -f(x) = -(5 - 3x^3) = -5 + 3x^3 \), видим, что \( f(-x) \) не равно ни \( f(x) \), ни \( -f(x) \).

Следовательно, функция является ни чётной, ни нечётной.

Итог:

• a) Чётная
• 6) Нечётная
• B) Чётная
• г) Ни чётная, ни нечётная