Исследуйте функцию на отрезке [0;5] и найдите ее наибольшее значение: y=-x^2+4x.

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 4x \) на отрезке \( [0;5] \) нам нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки, и затем сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = -2x + 4 \).
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( -2x + 4 = 0 \) \( -2x = -4 \) \( x = 2 \).
3. Проверим, принадлежит ли критическая точка \( x=2 \) отрезку \( [0;5] \). Да, принадлежит.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • При \( x=0 \): \( y = -(0)^2 + 4(0) = 0 \).
   • При \( x=2 \): \( y = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \).
   • При \( x=5 \): \( y = -(5)^2 + 4(5) = -25 + 20 = -5 \).
5. Сравним полученные значения: \( 0, 4, -5 \). Наибольшее значение равно \( 4 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 4.