Исследуйте функцию y = -x³ + 6x²: найдите критические точки и определите характер экстремумов.

Исследование функции

Дана функция: \( y = -x^3 + 6x^2 \)

1. Найдём первую производную функции:
   
   \( y' = (-x^3 + 6x^2)' \)
   
   \( y' = -3x^2 + 12x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   
   \( -3x^2 + 12x = 0 \)
   
   Вынесем общий множитель \( -3x \):
   
   \( -3x(x - 4) = 0 \)
   
   Отсюда получаем два значения \( x \):
   
   \( -3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \)
   
   \( x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4 \)
   
   Критические точки: \( x=0 \) и \( x=4 \).
3. Определим характер экстремумов, используя вторую производную:
   
   Найдём вторую производную:
   
   \( y'' = (-3x^2 + 12x)' \)
   
   \( y'' = -6x + 12 \)
   
   Проверим точку \( x_1 = 0 \):
   
   \( y''(0) = -6(0) + 12 = 12 \)
   
   Так как \( y''(0) > 0 \), в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный минимум.
   
   Проверим точку \( x_2 = 4 \):
   
   \( y''(4) = -6(4) + 12 = -24 + 12 = -12 \)
   
   Так как \( y''(4) < 0 \), в точке \( x = 4 \) функция имеет локальный максимум.
4. Найдём значения функции в критических точках:
   
   При \( x = 0 \): \( y(0) = -(0)^3 + 6(0)^2 = 0 \). Точка минимума: (0; 0).
   
   При \( x = 4 \): \( y(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 = -64 + 6(16) = -64 + 96 = 32 \). Точка максимума: (4; 32).

Ответ: Критические точки: \( x = 0 \) (минимум) и \( x = 4 \) (максимум).